阻滞增长模型logistic模型
* 玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型 地图、电路图、分子结构图… … ~ 符号模型 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征 从现实对象到数学模型 我们常见的模型 你碰到过的数学模型——“航行问题” 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程： 答：船速每小时20千米/小时. 甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? x =20 y =5 求解 航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设(船速、水速为常数)； 用符号表示有关量(x, y表示船速和水速)； 用物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以 时间)列出数学式子(二元一次方程)； 求解得到数学解答(x=20, y=5)； 回答原问题(船速每小时20千米/小时)。 数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模(Mathematical Modeling) 对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 建立数学模型的全过程 (包括表述、求解、解释、检验等) 数学模型 数学建模 背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 世界人口增长概况 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长 1. 如何预报人口的增长 指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798) 常用的计算公式 x(t) ~时刻t的人口 基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数 今年人口 x0, 年增长率 r k年后人口 随着时间增加，人口按指数规律无限增长 指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降) 阻滞增长模型(Logistic模型) 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r~固有增长率(x很小时) xm~人口容量(资源、环境能容纳的最大数量) r是x的减函数 dx/dt x 0 xm xm/2 xm t x 0 x(t)~S形曲线, x增加先快后慢 x0 xm/2 阻滞增长模型(Logistic模型) 参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合 例：美国人口数据(单位~百万) 1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 …… 179.3 204.0 226.5 251.4 专家估计 阻滞增长模型(Logistic模型) r=0.2557, xm=392.1 模型检验 用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较 实际为281.4 (百万) 模型应用——预报美国的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量) 阻滞增长模型(Logistic模型) r=0.2490, xm=434.0 x()=306.0 模型检验 用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较 实际为281.4 (百万) 模型应用——预报美国的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量) 阻滞增长模型(Logistic模型) r=0.2490, xm=434.0 x()=306.0 动态模型 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 微分方程
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