matlab插值与拟合例题_数学建模matlab插值与拟合

数学建模matlab插值与拟合

数学建模培训插值与拟合插值： 求过已知有限个数据点的近似函数。拟合 ：已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题，究竟应该用插值还是拟合，有时容易确定，有时则并不明显。插值与拟合属数值分析中函数逼近内容。在数学建模竞赛中，插值与拟合是一种常用的数据分析手段，被公认为建模中的十大算法之一。本节首先通过具体问题引出插值问题与拟合问题，然后简要介绍 Matlab中的插值和拟合的相关命令，最后给出两个应用插值和拟合的建模实例。本节要求学生：(1) 理解插值问题和拟合问题；在实际中会正确地判断、选择插值或拟合方法。(2) 了解高次插值的 Runge 现象及避免方法。(3) 熟悉 Matlab中一维插值 (interp1)、二维插值 (interp2) 、散乱点插值 (griddata)及相关命令 (surf,mesh,meshgrid,contour)。(4) 熟悉 Matlab中多项式拟合 (polyfit)、最小二乘曲线拟合 (lsqcurvefit)命令。(5) 掌握 Matlab编程的基本知识与技能 ,如数组及运算、调用，循环与控制语句，绘图相关命令，函数 (m文件 )的定义和调用等。一、插值问题与拟合问题引例 矿井中某处的瓦斯浓度 y 与该处距地面的距离 x有关，现用仪器测得从地面到井下 500米每隔 50米的瓦斯浓度数据 (xi,yi) (i=0,1,…,10) ，根据这些数据完成下列工作 : (1) 寻找一个函数，要求由此函数可近似求得从地面到井下 500米之间任意点处的瓦斯浓度； (2) 估计井下 600米处的瓦斯浓度。第一个问题可归结为 “已知函数在 x0,x1,…, xn处的值，求函数在区间 [x0,xn]内其它点处的值 ”，这种问题适宜用插值方法解决。插值问题可描述为：已知函数在 x0,x1,…, xn处的值 y0,y1,…, yn，求函数 p(x)，使 p(xi) = yi。但对第二个问题不宜用插值方法 ,因为600米已超出所给数据范围，用插值函数外推插值区间外的数据会产生较大的误差。 解决第二个问题的常用方法是，根据地面到井下 500 处的数据求出瓦斯浓度与地面到井下距离 x之间的近似函数关系 f(x), 由 f(x)求井下 600米处的瓦斯浓度。插值函数过已知点，拟合函数不一定过已知点。通常 , 插值主要用于求函数值，而拟合的主要目的是求函数关系。当然，某些问题既可以用插值也可以用拟合。二、高次插值中的 Runge现象通常选用多项式作为插值函数。在研究插值问题的初期，所有人都认为插值多项式的次数越高，插值精度越高。Runge 通过对一个例子的研究发现，上述结论仅仅在插值多项式的次数不超过 七时成立；插值多项式的次数超过七时，插值多项式会出现严重的振荡现象，称之为 Runge现象。例 1 ，节点，求插值多项式 。用 Maple (Matlab高次插值功能较弱 ) 可方便地求出 1～ 20次插值多项式，通过图形观察插值效果，见 Maple程序演示。

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