[数字图像处理]频域滤波(2)--高通滤波器 带阻滤波器与陷波滤波器

1.高通滤波器

首先，对一副图像进行如下二维傅里叶变换。

我们将u=0和v=0带上式，我们可以得到如下式子。

根据上式，可以到F(0,0)的值是非常大的。这里，我们将F(0,0)称为直流分量，直流分量比其他的成分要大好几个数量级。所以，这也就是傅里叶谱为什么需要使用对数变换才能看清楚的原因。 这里，对于高通滤波器而言，由于直流分量被衰减，所以，所得到的图像的动态范围是非常狭窄的，也就造成了图像偏灰。进一步而言，保持直流（DC）分量，对别的部分进行增幅，可以增强图像的细节。这样的滤波器称为锐化滤波器。这一小节主要介绍高通滤波器与锐化滤波器。

1.1理想高通滤波器

这里的D0是滤波器的阻带半径，而D(u,v)是点到滤波器中央的距离。理想高通的滤波器的振幅特性如下所示。

用这个滤波器对图像进行处理，可得到如下所示的结果。我们可以看到，与理想的低通滤波器一样，所得到的图像有很明显的振铃现象。结果图像从视觉上来看，有些偏暗，这是因为图像的直流分量被滤掉的原因。

1.2巴特沃斯高通滤波器

同样的，巴特沃斯高通滤波器也可以通过改变次数n，对过度特性进行调整。过大的n会造成振铃现象。

1.3高斯高通滤波器

高斯滤波器的过度特性很好，所以不会发生振铃现象。

1.4 上述三种滤波器的实现Matlab代码

close all;clear all;%% ---------Ideal Highpass Filters (Fre. Domain)------------f = imread('characters_test_pattern.tif');f = mat2gray(f,[0 255]);[M,N] = size(f);P = 2*M;Q = 2*N;fc = zeros(M,N);for x = 1:1:Mfor y = 1:1:Nfc(x,y) = f(x,y) * (-1)^(x+y);endendF = fft2(fc,P,Q);H_1 = ones(P,Q);H_2 = ones(P,Q);for x = (-P/2):1:(P/2)-1for y = (-Q/2):1:(Q/2)-1D = (x^2 + y^2)^(0.5);if(D <= 60) H_1(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = 0; end if(D <= 160) H_2(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = 0; endendendG_1 = H_1 .* F;G_2 = H_2 .* F;g_1 = real(ifft2(G_1));g_1 = g_1(1:1:M,1:1:N);g_2 = real(ifft2(G_2));g_2 = g_2(1:1:M,1:1:N); for x = 1:1:Mfor y = 1:1:Ng_1(x,y) = g_1(x,y) * (-1)^(x+y);g_2(x,y) = g_2(x,y) * (-1)^(x+y);endend%% -----show-------figure();subplot(1,2,1);imshow(f,[0 1]);xlabel('a).Original Image');subplot(1,2,2);imshow(log(1 + abs(F)),[ ]);xlabel('b).Fourier spectrum of a');figure();subplot(1,2,1);imshow(H_1,[0 1]);xlabel('c).Ideal Highpass filter(D=60)');subplot(1,2,2);h = mesh(1:20:P,1:20:Q,H_1(1:20:P,1:20:Q));set(h,'EdgeColor','k');axis([0 P 0 Q 0 1]);xlabel('u');ylabel('v');zlabel('|H(u,v)|');figure();subplot(1,2,1);imshow(log(1 + abs(G_1)),[ ]);xlabel('d).Result of filtering using c');subplot(1,2,2);imshow(g_1,[0 1]);xlabel('e).Result image');figure();subplot(1,2,1);imshow(H_2,[0 1]);xlabel('f).Ideal Highpass filter(D=160)');subplot(1,2,2);h = mesh(1:20:P,1:20:Q,H_2(1:20:P,1:20:Q));set(h,'EdgeColor','k');axis([0 P 0 Q 0 1]);xlabel('u');ylabel('v');zlabel('|H(u,v)|');figure();subplot(1,2,1);imshow(log(1 + abs(G_2)),[ ]);xlabel('g).Result of filtering using e');subplot(1,2,2);imshow(g_2,[0 1]);xlabel('h).Result image');close all;clear all;%% ---------Butterworth Highpass Filters (Fre. Domain)------------f = imread('characters_test_pattern.tif');f = mat2gray(f,[0 255]);[M,N] = size(f);P = 2*M;Q = 2*N;fc = zeros(M,N);for x = 1:1:Mfor y = 1:1:Nfc(x,y) = f(x,y) * (-1)^(x+y);endendF = fft2(fc,P,Q);H_1 = zeros(P,Q);H_2 = zeros(P,Q);for x = (-P/2):1:(P/2)-1for y = (-Q/2):1:(Q/2)-1D = (x^2 + y^2)^(0.5);D_0 = 100;H_1(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = 1/(1+(D_0/D)^2); H_2(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = 1/(1+(D_0/D)^6);endendG_1 = H_1 .* F;G_2 = H_2 .* F;g_1 = real(ifft2(G_1));g_1 = g_1(1:1:M,1:1:N);g_2 = real(ifft2(G_2));g_2 = g_2(1:1:M,1:1:N); for x = 1:1:Mfor y = 1:1:Ng_1(x,y) = g_1(x,y) * (-1)^(x+y);g_2(x,y) = g_2(x,y) * (-1)^(x+y);endend%% -----show-------figure();subplot(1,2,1);imshow(f,[0 1]);xlabel('a).Original Image');subplot(1,2,2);imshow(log(1 + abs(F)),[ ]);xlabel('b).Fourier spectrum of a');figure();subplot(1,2,1);imshow(H_1,[0 1]);xlabel('c)Butterworth Lowpass (D_{0}=100,n=1)');subplot(1,2,2);h = mesh(1:20:P,1:20:Q,H_1(1:20:P,1:20:Q));set(h,'EdgeColor','k');axis([0 P 0 Q 0 1]);xlabel('u');ylabel('v');zlabel('|H(u,v)|');figure();subplot(1,2,1);imshow(log(1 + abs(G_1)),[ ]);xlabel('d).Result of filtering using c');subplot(1,2,2);imshow(g_1,[0 1]);xlabel('e).Result image');figure();subplot(1,2,1);imshow(H_2,[0 1]);xlabel('f).Butterworth Lowpass (D_{0}=100,n=3)');subplot(1,2,2);h = mesh(1:20:P,1:20:Q,H_2(1:20:P,1:20:Q));set(h,'EdgeColor','k');axis([0 P 0 Q 0 1]);xlabel('u');ylabel('v');zlabel('|H(u,v)|');figure();subplot(1,2,1);imshow(log(1 + abs(G_2)),[ ]);xlabel('g).Result of filtering using e');subplot(1,2,2);imshow(g_2,[0 1]);xlabel('h).Result image');close all;clear all;%% ---------Gaussian Highpass Filters (Fre. Domain)------------f = imread('characters_test_pattern.tif');f = mat2gray(f,[0 255]);[M,N] = size(f);P = 2*M;Q = 2*N;fc = zeros(M,N);for x = 1:1:Mfor y = 1:1:Nfc(x,y) = f(x,y) * (-1)^(x+y);endendF = fft2(fc,P,Q);H_1 = zeros(P,Q);H_2 = zeros(P,Q);for x = (-P/2):1:(P/2)-1for y = (-Q/2):1:(Q/2)-1D = (x^2 + y^2)^(0.5);D_0 = 60;H_1(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = 1 - exp(-(D*D)/(2*D_0*D_0)); D_0 = 160;H_2(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = 1 - exp(-(D*D)/(2*D_0*D_0));endendG_1 = H_1 .* F;G_2 = H_2 .* F;g_1 = real(ifft2(G_1));g_1 = g_1(1:1:M,1:1:N);g_2 = real(ifft2(G_2));g_2 = g_2(1:1:M,1:1:N); for x = 1:1:Mfor y = 1:1:Ng_1(x,y) = g_1(x,y) * (-1)^(x+y);g_2(x,y) = g_2(x,y) * (-1)^(x+y);endend%% -----show-------figure();subplot(1,2,1);imshow(f,[0 1]);xlabel('a).Original Image');subplot(1,2,2);imshow(log(1 + abs(F)),[ ]);xlabel('b).Fourier spectrum of a');figure();subplot(1,2,1);imshow(H_1,[0 1]);xlabel('c)Gaussian Highpass (D_{0}=60)');subplot(1,2,2);h = mesh(1:20:P,1:20:Q,H_1(1:20:P,1:20:Q));set(h,'EdgeColor','k');axis([0 P 0 Q 0 1]);xlabel('u');ylabel('v');zlabel('|H(u,v)|');figure();subplot(1,2,1);imshow(log(1 + abs(G_1)),[ ]);xlabel('d).Result of filtering using c');subplot(1,2,2);imshow(g_1,[0 1]);xlabel('e).Result image');figure();subplot(1,2,1);imshow(H_2,[0 1]);xlabel('f).Gaussian Highpass (D_{0}=160)');subplot(1,2,2);h = mesh(1:20:P,1:20:Q,H_2(1:20:P,1:20:Q));set(h,'EdgeColor','k');axis([0 P 0 Q 0 1]);xlabel('u');ylabel('v');zlabel('|H(u,v)|');figure();subplot(1,2,1);imshow(log(1 + abs(G_2)),[ ]);xlabel('g).Result of filtering using e');subplot(1,2,2);imshow(g_2,[0 1]);xlabel('h).Result image');

1.5 锐化滤波器

按照之前所说的，锐化滤波器是将傅里叶谱的直流分量保留，然后将其余的成分增幅。使用锐化滤波器，可以对图像的细节进行增强，使得细节凸显出来。锐化滤波器的表达式如下所示。

其实上式的目的很明显，就是先将原图的傅里叶谱保留下来，然后叠加上高通滤波器的结果，所得到的图像就是锐化后的图像了。这里为了调整锐化程度，引入了两个变量与。可以调整直流分量的衰减程度，可以调整高频分量的增幅程度。

下面是代码。

close all;clear all;clc;%% ---------The High-Fre-Emphasis Filters (Fre. Domain)------------f = imread('blurry_moon.tif');f = mat2gray(f,[0 255]);[M,N] = size(f); P = 2*M;Q = 2*N;fc = zeros(M,N);for x = 1:1:Mfor y = 1:1:Nfc(x,y) = f(x,y) * (-1)^(x+y);endendF = fft2(fc,P,Q);H_HP = zeros(P,Q);for x = (-P/2):1:(P/2)-1for y = (-Q/2):1:(Q/2)-1D = (x^2 + y^2)^(0.5);D_0 = 80;H_HP(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = 1 - exp(-(D*D)/(2*D_0*D_0)); endendG_HP = H_HP .* F;G_HFE = (1 + 1.1 * H_HP) .* F;g_1 = real(ifft2(G_HP));g_1 = g_1(1:1:M,1:1:N);g_2 = real(ifft2(G_HFE));g_2 = g_2(1:1:M,1:1:N);for x = 1:1:Mfor y = 1:1:Ng_1(x,y) = g_1(x,y) * (-1)^(x+y);g_2(x,y) = g_2(x,y) * (-1)^(x+y);endendg = histeq(g_2);%g_1 = mat2gray(g_1);%% -----show-------figure();subplot(1,2,1);imshow(f,[0 1]);xlabel('a).Original Image');subplot(1,2,2);imshow(log(1 + abs(F)),[ ]);xlabel('b).Fourier spectrum of a');figure();subplot(1,2,1);imshow(g_1,[0 1]);xlabel('c).Result image of High-pass Filter');subplot(1,2,2);imshow(log(1 + abs(G_HP)),[ ]);xlabel('d).Result of filtering using e');figure();subplot(1,2,1);imshow(g_2,[0 1]);xlabel('e).Result image of High-Fre-Emphasis Filter');subplot(1,2,2);imshow(log(1 + abs(G_HFE)),[ ]);xlabel('f).Result of filtering using e');

2.带阻滤波器

同样的，带阻滤波器也有三种特性。高斯、巴特沃斯和理想，三种类型，其数学表达式如下所示。

其带通滤波器可以使用上面的表格转化而得。

带阻滤波器可以用于去除周期性噪声，为了体现带阻滤波器的特性，我们先对一幅图像增加很严重的噪声。

在原图的傅里叶谱上添加了几个很明显的亮点。在对其做IDFT，可以看到，原图被严重的周期噪声污染了。此时，我们可以使用带阻滤波器，可以有很好的去噪效果。为了避免振铃现象，选择使用如下所示巴特沃斯带阻滤波器，所用滤波器的次数为2次。使用空间域的操作，要去除这种噪声基本是不可能的，这也是频域内的操作的优点。

close all;clear all;clc;%% ---------------------Add Noise-------------------------f = imread('left.tif');f = mat2gray(f,[0 255]);[M,N] = size(f);P = 2*M;Q = 2*N;fc = zeros(M,N);for x = 1:1:Mfor y = 1:1:Nfc(x,y) = f(x,y) * (-1)^(x+y);endendF = fft2(fc,P,Q);H_NP = ones(P,Q);for x = (-P/2):1:(P/2)-1for y = (-Q/2):1:(Q/2)-1D = 2;v_k = -200; u_k = 150;D_k = ((x+u_k)^2 + (y+v_k)^2)^(0.5);H_NP(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = H_NP(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) * 1/(1+(D/D_k)^4);D_k = ((x-u_k)^2 + (y-v_k)^2)^(0.5);H_NP(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = H_NP(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) * 1/(1+(D/D_k)^4);v_k = 200; u_k = 150;D_k = ((x+u_k)^2 + (y+v_k)^2)^(0.5);H_NP(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = H_NP(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) * 1/(1+(D/D_k)^4);D_k = ((x-u_k)^2 + (y-v_k)^2)^(0.5);H_NP(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = H_NP(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) * 1/(1+(D/D_k)^4);v_k = 0; u_k = 250;D_k = ((x+u_k)^2 + (y+v_k)^2)^(0.5);H_NP(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = H_NP(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) * 1/(1+(D/D_k)^4);D_k = ((x-u_k)^2 + (y-v_k)^2)^(0.5);H_NP(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = H_NP(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) * 1/(1+(D/D_k)^4);v_k = 250; u_k = 0;D_k = ((x+u_k)^2 + (y+v_k)^2)^(0.5);H_NP(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = H_NP(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) * 1/(1+(D/D_k)^4);D_k = ((x-u_k)^2 + (y-v_k)^2)^(0.5);H_NP(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = H_NP(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) * 1/(1+(D/D_k)^4);H_NP(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = 1 + 700*(1 - H_NP(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1));endendG_Noise = F .* H_NP;g_noise = real(ifft2(G_Noise));g_noise = g_noise(1:1:M,1:1:N);for x = 1:1:Mfor y = 1:1:Ng_noise(x,y) = g_noise(x,y) * (-1)^(x+y);endend%% ---------Bondpass Filters (Fre. Domain)------------H_1 = ones(P,Q);for x = (-P/2):1:(P/2)-1for y = (-Q/2):1:(Q/2)-1D = (x^2 + y^2)^(0.5);D_0 = 250;W = 30;H_1(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = 1/(1+((D*W)/((D*D) - (D_0*D_0)))^6); endendG_1 = H_1 .* G_Noise;g_1 = real(ifft2(G_1));g_1 = g_1(1:1:M,1:1:N);for x = 1:1:Mfor y = 1:1:Ng_1(x,y) = g_1(x,y) * (-1)^(x+y);endend%% -----show-------close all;figure();subplot(1,2,1);imshow(f,[0 1]);xlabel('a).Original Image');subplot(1,2,2);imshow(log(1 + abs(F)),[ ]);xlabel('b).Fourier spectrum of a');figure();subplot(1,2,2);imshow(log(1 + abs(G_Noise)),[ ]);xlabel('c).Fourier spectrum of b');subplot(1,2,1);imshow(g_noise,[0 1]);xlabel('b).Result of add noise');figure();subplot(1,2,1);imshow(H_1,[0 1]);xlabel('d).Butterworth Bandpass filter(D=355 W=40 n =2)');subplot(1,2,2);h = mesh(1:20:Q,1:20:P,H_1(1:20:P,1:20:Q));set(h,'EdgeColor','k');axis([0 Q 0 P 0 1]);xlabel('u');ylabel('v');zlabel('|H(u,v)|');figure();subplot(1,2,2);imshow(log(1 + abs(G_1)),[ ]);xlabel('e).Fourier spectrum of f');subplot(1,2,1);imshow(g_1,[0 1]);xlabel('f).Result of denoise');

3.陷波滤波器(Notch Filter)

陷波滤波器也用于去除周期噪声，虽然带阻滤波器也能可以去除周期噪声，但是带阻滤波器对噪声以外的成分也有衰减。而陷波滤波器主要对，某个点进行衰减，对其余的成分不损失。使用下图将更容易理解。

从空间域内看，图像存在着周期性噪声。其傅里叶频谱中，也能看到噪声的所在之处(这里我用红圈标注出来了，他们不是数据的一部分)。我们如果使用带阻滤波器的话，是非常麻烦的，也会使得图像有损失。陷波滤波器，能够直接对噪声处进行衰减，可以有很好的去噪效果。 其表达式如下所示，陷波滤波器可以通过对高通滤波器的中心，进行位移就可以得到了。

这里，由于傅里叶的周期性，傅里叶频谱上不可能单独存在一个点的噪声，必定是关于远点对称的一个噪声对。这里的与需要去除的噪声点，其求取的方式如下所示。针对于上图，我们设计如下滤波器，去进行去噪。

（图片下标错了，后续更新改过来！）所得到的结果，如下所示。噪声已经被去除了，画质得到了很大的改善。

（图片下标错了，后续更新改过来！）

close all;clear all;clc;%% ---------Butterworth Notch filter (Fre. Domain)------------f = imread('car_75DPI_Moire.tif');f = mat2gray(f,[0 255]);[M,N] = size(f);P = 2*M;Q = 2*N;fc = zeros(M,N);for x = 1:1:Mfor y = 1:1:Nfc(x,y) = f(x,y) * (-1)^(x+y);endendF = fft2(fc,P,Q);H_NF = ones(P,Q);for x = (-P/2):1:(P/2)-1for y = (-Q/2):1:(Q/2)-1D = 30;v_k = 59; u_k = 77;D_k = ((x+u_k)^2 + (y+v_k)^2)^(0.5);H_NF(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = H_NF(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) * 1/(1+(D/D_k)^4);D_k = ((x-u_k)^2 + (y-v_k)^2)^(0.5);H_NF(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = H_NF(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) * 1/(1+(D/D_k)^4);v_k = 59; u_k = 159;D_k = ((x+u_k)^2 + (y+v_k)^2)^(0.5);H_NF(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = H_NF(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) * 1/(1+(D/D_k)^4);D_k = ((x-u_k)^2 + (y-v_k)^2)^(0.5);H_NF(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = H_NF(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) * 1/(1+(D/D_k)^4);v_k = -54; u_k = 84;D_k = ((x+u_k)^2 + (y+v_k)^2)^(0.5);H_NF(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = H_NF(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) * 1/(1+(D/D_k)^4);D_k = ((x-u_k)^2 + (y-v_k)^2)^(0.5);H_NF(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = H_NF(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) * 1/(1+(D/D_k)^4);v_k = -54; u_k = 167;D_k = ((x+u_k)^2 + (y+v_k)^2)^(0.5);H_NF(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = H_NF(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) * 1/(1+(D/D_k)^4);D_k = ((x-u_k)^2 + (y-v_k)^2)^(0.5);H_NF(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = H_NF(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) * 1/(1+(D/D_k)^4);endendG_1 = H_NF .* F;g_1 = real(ifft2(G_1));g_1 = g_1(1:1:M,1:1:N);for x = 1:1:Mfor y = 1:1:Ng_1(x,y) = g_1(x,y) * (-1)^(x+y);endend%% -----show-------close all;figure();subplot(1,2,1);imshow(f,[0 1]);xlabel('a).Original Image');subplot(1,2,2);imshow(log(1 + abs(F)),[ ]);xlabel('b).Fourier spectrum of a');figure();subplot(1,2,1);imshow(H_NF,[0 1]);xlabel('c).Butterworth Notch filter(D=30 n=2)');subplot(1,2,2);h = mesh(1:10:Q,1:10:P,H_NF(1:10:P,1:10:Q));set(h,'EdgeColor','k');axis([0 Q 0 P 0 1]);xlabel('u');ylabel('v');zlabel('|H(u,v)|');figure();subplot(1,2,2);imshow(log(1 + abs(G_1)),[ ]);xlabel('e).Fourier spectrum of d');subplot(1,2,1);imshow(g_1,[0 1]);xlabel('d).Result image');

原文发于博客：/thnh169/

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