隐函数求偏导数的方法
隐函数求偏导数的方法
主讲教师 王艳平
一、隐函数的定义
一般地，变量x和y满足一个方程F(x,y)=0，并且在一定的条件
下，当x 取某区间内的任意值时，相应的总有满足方程的唯一的y值
存在，那么就说由方程F(x,y)=0在该区间上确定了隐函数y =f(x).
类似地可定义由方程F(x,y,z)=0确定的隐函数z=f(x,y)，以及
由方程组确定的隐函数的情形.
二、隐函数的导数
1.一个方程的情形
隐函数存在定理1：设函数F(x,y)在点P(x,y)的某一邻域内具有
0 0
连续偏导数, 且F(x,y)=0,F(x,y)0, 则方程F(x,y)=0在点(x,y)
0 0 y 0 0 0 0
的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x),
dy F
x
它满足条件y=f(x), 并有 = -
0 0 dx F
y
隐函数存在定理2：设函数F(x,y,z)在点P(x,y,z)的某一邻域内具
0 0 0
有连续的偏导数, 且F(x,y,z)=0,F(x,y,z)0, 则方程F(x,y,z)=0
0 0 0 z 0 0 0
在点(x,y,z) 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导
0 0 0
数的函数z=f(x,y), 它满足条件z=f(x,y), 并有
0 0 0
z Fx z Fy
= - = -
x Fz y Fz
2.方程组的情形
ÏF(x,y,u,v)=0
由方程组 Ì 确定两个连续且具有连续偏导数
ÓG(x,y,u,v)= 0
的函数u= u(x,y),v= v(x,y) .其偏导数采用直接求导法。
Ï u v
F +F + F = 0
u v Ô x u v
Ô x x
偏导数 , 可由方程组 Ì 确定
x x ÔG + G u+ G v= 0
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