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【高等数学】高阶偏导数与隐函数的高阶偏导数的深度辨析

时间:2021-08-27 22:04:57

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【高等数学】高阶偏导数与隐函数的高阶偏导数的深度辨析

1.先要了解一元隐函数的概念:

其中因为是一元隐函数,所以其y也可以理解为作为一个x的复合函数,

而F(x , y) = 0这样的隐函数写法也很容易与多元隐函数的写法相混淆

在多元隐函数中 F(x , y , z) = 0,其实际变元只有俩个 即为 x 和 y。

而 z 的作用即类似于一元函数中的y,即 z 是含有 x 和 y 的复合函数

而重要的一点是,如果题目中没有说 F(x , y , z) = 0 是隐函数时,则此时 z 的作用就和 x , y 一样被作为同等条件下的普通变量看待,

这是由一个三元方程确定的二元隐函数

所以在求其多元显函数的高阶导数时,对于 z 对的处理就不同于求多元隐函数的高阶导数,例如:

2.变量 z 在多元隐函数中不是一个变量,而是一个函数

无论是在一阶求导过程中还是二阶求导过程中

3.多元隐函数(三元方程确定的二元隐函数)的高阶偏导数(以二阶为例):

先求其一阶:

其在隐函数一阶的情况下求二阶导数:

与一元隐函数求导进行类比,因为在多元隐函数中 z 是x , y 的函数,而不是一个变量,

所以在求二阶导函数的时候,不能在求二阶导数的时候把 z 看作一个常数

注:

在求其隐函数的一阶导数的时候,可以这样理解:把 z 当作一个常数,

但是,由上图中的一阶隐函数导数的推导可知,

其 z = f (x , y) 实际上是被当作函数处理,

只不过根据最后得到的一阶隐函数求导公式,可以表面上认为此时 z 在求导的过程中被当作一个常数

4. 例题:

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