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初三数学中考几何模型系列利用三角形的角平分线构造全等三角形

时间：2020-09-05 02:19:06

#中考数学复习#今天我们继续学习初中几何模型系列，之前分享了共顶点模型、含半角模型、对角互补模型等，感兴趣的同学可以查看一下。

今天呢学习的是利用三角形的角平分线构造全等三角形。

利用三角形的角平分线构造全等三角形

模型讲解

角平分线的两个性质：

角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上.这两条性质具有互逆性.因为角是关于角平分线的轴对称图形.因此，可以利用角平分线构造全等三角形进行边、角、面积等的集中或转移.

常见的构造方法如下.

1.构距离，造全等

有角平分线时，常过向平分线上的点向角两边引垂线.根据角平分线上的点到角两边矩离相等，可构造出相应的全等三角形而巧妙解决问题，如图1,这里构造的是直角三角形，证明全等的方法可以有“SAS,SSS,ASA,AAS,HL".

图1

2.巧翻折，造全等

以角平分线为对称轴，在角两边截取相等的线段，常见的是截长补短，构造全等三角形，如图2.这是证明等量关系时常用的方法.

图2

3.构等腰，造全等

过角平分线上的一点作角平分线的垂线，与角两边相交，从而形成等腰三角形.这里可以使用“ASA"证全等，而且可以使用等腰三角形的“三线合一”性质，如图3.

图3

例题

(1)如图4,已知等边△ABC,将直角三角形的60°角顶点D任意放在BC边上(点D不与点B、 C 重合)，使两边分别交线段AB、AC于点E、F.

图4

① 若 AB = 6,AE=4,BD = 2,则 CF=_____.

② 求证：△EBD∽△DCF.

(2)若将图4中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF.如图5.问点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求岀BD/DC的值，若不存在，请说明理由.

图5

6(3)如图6.在等腰△ABC中，AB=AC,点O为BC边的中点，将三角形透明纸板一个顶点放在点O处(其中∠MON=∠B),使两条边分别交边AB、AC于点E、F(点E、F均不与△ABC的顶点重合),连接EF.设∠B=α,则△AEF与△ABC的周长之比为_____(用含α的表达式表示).

图6

例题剖析

⑴①先求出BE的长度.可发现BE=BD.又因为∠B=60°,.可知△BDE是等边三角形，可得∠BDE=60°.另外∠EDF=60°,可证得△CDF是等边三角形，从而CF=CD=BC - BD.

②证明△EBD∽△DCF.这个模型可称为“一线三等角相似模型”根据“AA”判定相似.

(2) 由平分线可联系到角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”,可过D作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF,则DM =DG=DN,从而通过证明△BDM≌△CDN可得BD=CD；

(3) 设AB=m,由已知条件不难求得△ABC的周长=AB+BC+AC =2AB+2OB=2m+2m*cosα,则需要用m和α的三角函数表示出△AEF周长=AE+EF+AF；题中已知O是BC的中点，应用第⑵题的方法和结论，作OG⊥BE,OD⊥EF,OH⊥CF,可得EG=ED,FH=DF,则△AEF 周长=AE+EF+AF = AG+AH=2AG.而 AG=AB-GB,从而可求得.

例题解析

⑴ ①因为△ABC是等边三角形，故AB=BC=AC=6，∠B=∠C=60°.

因为 AE=4,可知 BE=2,即BE=BD.因此△BDE是等边三角形,∠BDE = 60°.

又因为 ∠EDF = 60°，所以 ∠CDF = 180° - ∠EDF - ∠B=60°.

则∠CDF =∠C=60°,故△CDF是等边三角形，所以 CF = CD=BC-BD=6-2=4.

②因为∠EDF = 60°,∠B=6O°,所以∠CDF + ∠BDE=120°,∠BED+∠BDE = 120°.

可知∠BED=∠CDF,又因为∠B = ∠C,所以△EBD∽△DCF.

（2）如图7,作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF,垂足分别为M、G、N.

因为BD平分∠BEF且FD平分∠CFE,所以DM =DG= DN，

又因为∠B=∠C=60°，∠BMD =∠CND=90°, 所以△ BDM≌△CDN,有BD=CD，

即点D是BC的屮点，因此BD/DC=1.

图7