圆的切线长定理是圆中非常重要的一个定理,虽然在北师大版教材中是作为选学内容出现,但它的重要性不容忽视。那么如何复习圆的切线长定理呢?每次数学考试都能140分以上的同学是这样总结的,我们一起来看看!
一、切线长的概念:
过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.如图1,线段PA和PB都是点P到⊙O的切线长。
图1
注意:切线与切线长是一回事吗?它们有什么区别与联系呢?
切线和切线长是两个不同的概念:
1.切线是一条与圆相切的直线,不能度量;
2.切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.
二、切线长定理:
①内容:过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。
图2
②几何语言:
∵PA,PB分别切⊙O于A,B,
∴PA=PB, OP平分∠APB.
③例题欣赏:
【例1】△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长.
例1图
解:设AF=x,则AE=x
∴CD=CE=AC-AE=13-x,
BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC可得
13-x+9-x=14,
解得x=4.
∴AF=4cm, BD=5cm, CE=9cm.
【变式训练】设△ABC的边BC=8,AC=11,AB=15,内切圆⊙I和BC,AC,AB分别相切于点D,E,F.求AE,CD,BF的长.
变式训练图
④拓展:根据切线长定理,我们可以推出圆的外切四边形的两组对边的和相等.
【例2】如图,四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA和⊙O分别相切于点L,M,N,P,求证:AD+BC=AB+CD.
例2图
证明:由切线长定理的
AL=AP,LB=MB,NC=MC,DN=DP,
∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,
即AD+BC=AB+CD
∴圆的外切四边形的两组对边的和相等.
你学会了吗
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