前面主要是接触了三角形与四边形的存在性问题。接着就是角的平分线的存在性，其实还有垂直平分线的存在性等等。
本质上都是利用图形的性质进行解题。
本文题目选自：
·抚顺、·衡阳
【中考真题】
（·抚顺）如图，抛物线y＝ax²+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（2）点N是y轴负半轴上的一点，且ON=√2，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO，QO与抛物线的对称轴交于点M，连接MN，当MN平分∠OMD时，求点Q的坐标．
【分析】
遇到角平分线，就会想到角平分线的性质。
我们可以把本题中的关键点给抽取出来。
发现既有角的平分线又有平行，那么点M与O、N就构成了一个特殊的三角形——等腰三角形。
所以点M的位置就很容易确定了。相当于转化为等腰三角形的存在性问题了。
【答案】解：抛物线的解析式为：y＝x²﹣2x﹣3．
如图1，设对称轴与x轴交于点H，
∵MN平分∠OMD，∴∠OMN＝∠DMN，
又∵DM∥ON，∴∠DMN＝∠MNO，
∴∠MNO＝∠OMN，∴OM＝ON=√2．
在Rt△OHM中，∠OHM＝90°，OH＝1．
∴HM=√(OM²-OH² )=√((√2 )²-1)=1，
∴M1（1，1）；M2（1，﹣1）．
①当M1（1，1）时，直线OM解析式为：y＝x，
依题意得：x＝x²﹣2x﹣3．
解得：x_1=(3+√21)/2，x_2=(3-√21)/2，
∵点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，
∴Q点纵坐标y=x_1=(3+√21)/2．
∴Q_1 ((3+√21)/2， (3+√21)/2)，
②当M2（1，﹣1）时，直线OM解析式为：y＝﹣x，
同理可求：Q_2 ((1+√13)/2，-(1+√13)/2)，
综上所述：
点Q的坐标为：Q_1 ((3+√21)/2， (3+√21)/2)，
Q_2 ((1+√13)/2，-(1+√13)/2) ．
【总结】
存在性问题主要是利用图形的性质建立等量关系。
【举一反三】
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