二次函数压轴题涉及的知识点多,综合性强,难度比较大,往往成为同学们心中的“痛”，怎样解决这类压轴题,轻松备考中考呢?下面介绍三类二次函数大题中常见的面积问题：最值问题、定值问题、等值问题，常用处理方法，期待对你中考数学复习有实实在在的帮助。
1.最值问题
如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC，使得△PBC面积最大，求面积最大值及此时P点坐标．
【解析】除了上文介绍的铅垂法外，将再介绍一种思路：
构造平行切线：以BC为底边，过点P向BC作垂线PH交BC于H点，求△PBC面积最大，在底边BC确定不变的前提下，PH最大即可．
过点P作PQ∥BC，当PQ与抛物线相切时，PQ与BC距离最大，即PH最大．
如何求解P点坐标？
（1）求BC解析式：y=-x+3；
（2）根据PQ∥BC，可设PQ解析式：y=-x+m；
（3）根据相切，联立方程：-x²+2x+3=-x+m，根的判别式为0，可求m的值
（4）根据P点坐标，即可求得△PBC面积的最大值．
但其实即便算出了P点坐标，求△PBC面积也还是要费点事。
问题衍生
如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC．
（1）垂线段最值：过点P作PH⊥CB交CB于H点，求PH最大值及此时P点坐标．
思路1：所谓PH最大，即△PBC面积最大，可用铅垂法求得△PBC面积最大值，再除以BC即可得PH最大值．
思路2：过P点作PQ⊥x轴交BC于Q点，则△PHQ∽△BOC，PH:BO=PQ:BC，
（2）相关三角形最值：过点P作PH⊥BC交BC于H点，作PQ⊥x轴交BC于Q点，求△PHQ周长最大值及面积最大值．
思路：把握住△PHQ∽△BOC，不管是求周长最大还是面积最大，都可转化为PQ最大值．
周长、面积均可求．
应用举例
1（聊城中考题，有删减）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-2,0），点B（4,0），与y轴交于点C（0,8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．
【分析】（1）y=-x²+2x+8；
（2）根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=-2x+8，设点P坐标为（m，-m²+2m+8），
则点D坐标为（m，-2m+8），故线段PD=-m²+2m+8-（-2m+8）=-m²+4m，当m=2时，PD取到最大值4，
2.对于某些三角形或是四边形，我们可以直接用面积公式或是用割补法等来求它们的面积，下面我们研究一种求面积的新方法：
如图1、2所示，分别过三角形或是四边形的顶点A、C作水平线的铅垂线l₁、l₂，l₁、l₂之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D，称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点B、D作水平线l3、l4，l3、l4之间的距离h叫做四边形的铅垂高．
【结论提炼】：容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S＝1/2dh”．
【尝试应用】：
已知：如图3，点A（﹣5，2）、B（5，0）、C（0，5），则△ABC的水平宽为_____，铅垂高为____，所以△ABC的面积为___．
【再探新知】：
三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，小明进行了如下探索尝试：
（1）他首先在图4所示的平面直角坐标系中，取了A（﹣4，2）、B（1，5）、C（4，1）、D（﹣1，﹣4）四个点，得到了四边形ABCD．
小明运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算的结果是_____；他又用其它的方法进行了计算，结果是_____，由此他发现：用“S＝1/2dh”这一方法对图4中的四边形求面积_____（填“适合”或“不适合”）．
（2）小明并没有放弃尝试，他又在图5所示的平面直角坐标系中，取了A（﹣5，2）、B（1，5）、C（4，2）、D（﹣1，﹣3）四个点，得到了四边形ABCD．小明运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算的结果是_____，由此他发现：用“S＝1/2dh”这一方法对图5中的四边形求面积_____（填“适合”或“不适合”）．
（3）小明很奇怪，就继续进行了进一步尝试，他在图6所示的平面直角坐标系中，取了A（﹣4，2）、B（1，5）、C（5，1）、D（1，﹣5）四个点，得到了四边形ABCD．通过计算他发现：用“S＝1/2dh”这一方法对图6中的四边形求面积_____（填“适合”或“不适合”）．
通过以上尝试，小明恍然大悟得出结论：当四边形满足 条件时，四边形可以用“S＝1/2dh”来求面积．
【学以致用】：
如图7，在平面直角坐标系中，点M坐标为（﹣2，0），抛物线的解析式为：y＝1/4x²﹣2x+3，抛物线图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，点P为抛物线上一点，且位于B、C之间，请直接运用以上结论，写出当点P坐标为多少时，四边形AMPC面积最大．（直接写出P点坐标即可）
【解析】（1）小明运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算的结果是36；他又用其它的方法进行了计算，结果是37，由此他发现：用“S＝1/2dh”这一方法对图4中的四边形求面积不适合；
（2）小明运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算的结果是36，由此他发现：用“S＝1/2dh”这一方法对图5中的四边形求面积适合；
（3）通过计算他发现：用“S＝1/2dh”这一方法对图6中的四边形求面积适合；
结论：当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S＝1/2dh”来求面积．
y＝1/4x²﹣2x+3的图象与y轴交于点A（0，3），1/4x²﹣2x+3＝0，解得，x₁＝，x₂＝6
与x轴交点B（2，0）、C（6，0），当P点为抛物线的顶点时，四边形AMPC面积最大，
y＝1/4x²﹣2x+3＝1/4（x﹣4）²﹣1，∴顶点的坐标为（4，﹣1），四边形AMPC的水平宽为8，铅垂高为4，∴四边形AMPC面积为：1/2×8×4＝16．
2.定值问题
问题描述
如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC，若△PBC面积为3，求点P坐标．
思路1：铅垂法列方程解,根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3，设点P坐标为（m，-m²+2m+3），过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，则点Q坐标为（m，-m+3），
分类讨论去绝对值解方程即可得m的值．
思路2：构造等积变形
同底等高三角形面积相等．
取BC作水平宽可知水平宽为3，根据△PBC面积为3，可知铅垂高为2，在y轴上取点Q使得CQ=2，过点Q作BC的平行线，交点即为满足条件的P点．
当点Q坐标为（0,5）时，PQ解析式为：y=-x+5，联立方程：-x²+2x+3=-x+5，解之即可．
当点Q坐标为（0,1）时，PQ解析式为：y=-x+1，联立方程：-x²+2x+3=-x+1，解之即可．
应用举例
（临沂中考题，有删减）在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=ax²+bx+c（a<0）经过点A、B．
（1）求a、b满足的关系式及c的值．
（2）如图，当a=-1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）点A（-2,0），点B（0,2），代入解析式可得：c=2，4a-2b+2=0
（2）考虑A、B水平距离为2，△PAB的面积为1，故对应的铅垂高为1．
当a=-1时，可得b=-1，抛物线解析式为y=-x²-x+2．
取点C（0,3）作AB的平行线，其解析式为：y=x+3，联立方程-x²-x+2=x+3，解得x=-1，
故点P1坐标为（-1,2）取点D（0,1）作AB的平行线，其解析式为：y=x+1，
联立方程-x²-x+2=x+1，解得：
对应两个P点坐标分别为：
同样，等积变形还适合：等积问题．
2.（·鞍山中考题）在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax²+bx+4与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当S△AQD＝2S△APQ时，求点P的坐标．
（3）如图2，G是线段OC上一个动点，连接DG，过点G作GM⊥DG交AC于点M，过点M作射线MN，使∠NMG＝60°，交射线GD于点N；过点G作GH⊥MN，垂足为点H，连接BH．请直接写出线段BH的最小值．
【解析】（1）利用待定系数法求解可得y＝﹣x ²+3x+4；
（2）如图1，过点P作PE∥x轴，交AB于点E，
∵A（3，4），AD⊥x轴，∴D（3，0），
∵B（﹣1，0），∴BD＝3﹣（﹣1）＝4，
∵S△AQD＝2S△APQ，△AQD与△APQ是等高的两个三角形，
∴PQ/DQ=1/2，
∵PE∥x轴，∴△PQE∽△DQB，∴PE/DB=FQ/DQ=1/2，
∴PE/4=1/2，∴PE＝2，
∴可求得直线AB的解析式为y＝x+1，
设E（x，x+1），则P（x﹣2，x+1），
将点P坐标代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（x+2）²+3（x+2）+4＝x+1，
解得x₁＝3+√2，x₂＝3﹣√2，
当x＝3+√2时，x﹣2＝3+√2﹣2＝1+√2，x+1＝3+√2+1＝4+√2，
∴点P（1+√2，4+√2）；
当x＝3﹣√2时，x﹣2＝3﹣√2﹣2＝1﹣√2，x+1＝3﹣√2+1＝4﹣√2，
∴P（1﹣√2，4﹣√2），
∵点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，
∴﹣1＜x﹣2＜3，
∴点P的坐标为（1+√2，4+√2）或（1﹣√2，4﹣√2）；
（3）证∠GHM＝90°，再证点C、G、H、M共圆得∠GCH＝∠GMH＝60°，据此知点H在与y轴夹角为60°的定直线上，从而得BH⊥CH时，BH最小，
作HP⊥x轴，并延长PH交AC于点Q，证∠BHP＝∠HCM＝30°，设OP＝a，知CQ＝a，从而得QH＝√3/3a，BP＝1+a，在Rt△BPH中，得出HP＝√2（a+1），BH＝2（1+a），根据QH+HP＝AD＝4可求得a的值，从而得出BH最小＝2（1+a）＝(4√3+1)/2．
3.等值问题
问题描述
如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线上存在一点P使得△PBC的面积等于△BOC的面积，求点P坐标．
思路1：铅垂法：计算出△BOC面积，将“等积问题”转化为“定积问题”，用铅垂法可解．
思路2：构造等积变形：过点O作BC的平行线，与抛物线交点即为所求P点，
另外作点O关于点C的对称点M，过点M作BC平行线与抛物线的交点亦为所求P点．先求直线解析式，再联立方程即可求得P点坐标．
应用举例
1.（凉山州中考题）如图，抛物线y=ax²+bx+c的图像过点A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得△PAM面积与△PAC面积相等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）抛物线解析式为：y=-x²+2x+3；
（2）将军饮马问题，作点C关于对称轴的对称点C’（2,3），连接AC’，与对称轴交点即为所求P点，可得P点坐标为（1,2），△PAC的周长亦可求．
（3）过点C作AP平行线与抛物线交点即为M点，联立方程得解；记AP与y轴交点为Q点，作点C关于Q点的对称点点D，过点D作AP的平行线．与抛物线在x轴上方部分的交点即为所求M点，联立方程得解
4.反思总结
二次函数面积压轴题解题策略可这样思考
（1）对于含参数的图形面积，在自变量的取值范围内，利用函数的增减性可以求得其最值；
（2）如果是面积的倍分关系，一般用等积变形来解决，即过三角形的一个顶点做它对边的平行线或是从图形中寻找出这样的直线，利用等底等高来进行等积变形，从而实现三角形顶点的转化；
（3）如果过某个顶点的线段平分三角形的面积，则该线段一定过该顶点对边的中点.
浓缩一下：最值问题用铅垂，定值等值构等积．
（说明：部分例题引用刘岳 有一点数学，若不当会及时删除）
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