问题补充:
正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直,
(1)证明:Rt△ABM∽Rt△MCN;
(2)当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN,求此时x的值.
答案:
(1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC=CD=4,∠B=∠C=90°,
∵AM⊥MN,
∴∠AMN=90°,
∴∠CMN+∠AMB=90°.
在Rt△ABM中,∠MAB+∠AMB=90°,
∴∠CMN=∠MAB,
∴Rt△ABM∽Rt△MCN.
(2)解:∵∠B=∠AMN=90°,
∴要使△ABM∽△AMN,必须有即,
由(1)知 ,
∴,
∴BM=MC,
∴当点M运动到BC的中点时,△ABM∽△AMN,此时x=2.
解析分析:(1)要证三角形ABM和MCN相似,就需找出两组对应相等的角,已知了这两个三角形中一组对应角为直角,而∠BAM和∠NMC都是∠AMB的余角,因此这两个角也相等,据此可得出两三角形相似.
(2)已知这两个三角形中相等的对应角是∠ABM和∠AMN,如果要想使Rt△ABM∽Rt△AMN,那么两组直角边就应该对应成比例,即 根据(1)的相似三角形可得出 ,因此BM=MC,M是BC的中点.即x=2.
点评:本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质,根据相似三角形得出与所求的条件相关的线段成比例是解题的关键.
正方形ABCD边长为4 M N分别是BC CD上的两个动点 当M点在BC上运动时 保持AM和MN垂直 (1)证明:Rt△ABM∽Rt△MCN;(2)当M点运动到什么位
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