一、图的基本介绍

为什么要有图

前面我们学了线性表和树

线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系

树也只能有一个直接前驱也就是父节点

当我们需要表示多对多的关系时， 这里我们就用到了图。

图的举例说明：

图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为 顶点。

二、图的表示方法

图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。

邻接矩阵：邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于 n 个顶点的图而言，矩阵是的 row 和 col 表示的是 1…n 个点

邻接表：

邻接矩阵需要为每个顶点都分配 n 个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.

邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成

举例说明

三、图的深度优先遍历（DFS）

深度优先遍历的思想：

深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问 第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解： 每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。

我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。

显然，深度优先搜索是一个递归的过程

深度优先遍历算法步骤

访问初始结点 v，并标记结点 v 为已访问。

查找结点 v 的第一个邻接结点 w。

若 w 存在，则继续执行 4，如果 w 不存在，则回到第 1 步，将从 v 的下一个结点继续。

若 w 未被访问，对 w 进行深度优先遍历递归（即把 w 当做另一个 v，然后进行步骤 123）。

查找结点 v 的 w 邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤 3。

分析图

深度优先遍历算法的核心代码

//进行深度优先遍历private void dfs(boolean[] isVisited,int i){//首先先访问该结点并输出System.out.print(getValueByIndex(i)+"->");//其次将结点设置为已经访问isVisited[i]=true;//查找结点i的第一个邻接节点int w=getFirstNeighbor(i);//当w!=-1时，表示有邻接节点while (w!=-1){//如果该节点被没有访问过if (!isVisited[w]){dfs(isVisited,w);}//如果w结点已经被访问过w=getNextNeighbor(i,w);}}//对dfs进行一个重载，遍历我们所有的结点，并进行dfspublic void dfs(){isVisited = new boolean[vertexList.size()];//遍历所有的结点，进行dfs[相当于回溯]for (int i=0;i<getNumOfVertex();i++){if (!isVisited[i]){dfs(isVisited,i);}}}

四、图的广度优先遍历算法（BFS）

基本思想：

图的广度优先搜索(Broad First Search) 。

类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来 访问这些结点的邻接结点

广度优先遍历算法步骤

访问初始结点 v 并标记结点 v 为已访问。

结点 v 入队列

当队列非空时，继续执行，否则算法结束。

出队列，取得队头结点 u。

查找结点 u 的第一个邻接结点 w。

若结点 u 的邻接结点 w 不存在，则转到步骤 3；否则循环执行以下三个步骤：

6.1 若结点 w 尚未被访问，则访问结点 w 并标记为已访问。

6.2 结点 w 入队列 6.3 查找结点 u 的继 w 邻接结点后的下一个邻接结点 w，转到步骤 6。

核心代码：

//对一个结点进行广度优先遍历的方法private void bfs(boolean[] isVisited,int i){int u;//表示队列的头结点对应下标int w;//邻接节点w//队列，记录访问的顺序LinkedList quene=new LinkedList();//访问结点，输出结点信息System.out.print(getValueByIndex(i)+"->");//标志结点已访问isVisited[i]=true;//将结点加入队列quene.addLast(i);while (!quene.isEmpty()){//取出队列的头结点下标u=(Integer) quene.removeFirst();//得到第一个邻接节点的下标w=getFirstNeighbor(u);while (w!=-1){//如果没有被访问if (!isVisited[w]){//System.out.print(getValueByIndex(w)+"->");//标记已经访问isVisited[w]=true;//入队quene.addLast(w);}//以u为前驱点，找w后面的下一个结点w=getNextNeighbor(u,w);}}}//遍历所有结点，都进行广度优先遍历搜索public void bfs(){isVisited = new boolean[vertexList.size()];for (int i=0;i<getNumOfVertex();i++){bfs(isVisited,i);}}

五、图的整体代码实现

package cn.zzw.algorithm.graph;import java.util.ArrayList;import java.util.Arrays;import java.util.LinkedList;public class Graph {private ArrayList<String> vertexList;//存储顶点集合private int[][] edges;//存储图对应的邻接矩阵private int numOfEdges;//表示边的数目private boolean[] isVisited;public static void main(String[] args) {int n=8;//结点的个数String Vertexs[] = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};//创建图对象Graph graph= new Graph(n);//循环的添加结点for (String vertex: Vertexs){graph.insertVertex(vertex);}//更新边的关系graph.insertEdge(0,1,1);graph.insertEdge(0, 2, 1);graph.insertEdge(1, 3, 1);graph.insertEdge(1, 4, 1);graph.insertEdge(3, 7, 1);graph.insertEdge(4, 7, 1);graph.insertEdge(2, 5, 1);graph.insertEdge(2, 6, 1);graph.insertEdge(5, 6, 1);//显示邻接矩阵graph.showGraph();//System.out.println("深度优先遍历");//graph.dfs();System.out.println("广度优先遍历");graph.bfs();}public Graph(int n){//初始化矩阵和vertexListedges=new int[n][n];vertexList=new ArrayList<>(n);numOfEdges=0;}//得到第一个邻接节点的下标wpublic int getFirstNeighbor(int index){for (int j=0;j<vertexList.size();j++){if (edges[index][j]>0){return j;}}return -1;}//根据前一个邻接节点的下标来获取下一个邻接节点public int getNextNeighbor(int v1,int v2){for (int j=v2+1;j<vertexList.size();j++){if (edges[v1][j]>0){return j;}}return -1;}//图中常用的方法//1.返回结点的个数public int getNumOfVertex(){return vertexList.size();}//对应边的数目public int getNumOfEdges(){return numOfEdges;}//返回结点i(下标)对应的数据public String getValueByIndex(int i){return vertexList.get(i);}//返回v1和v2的权值public int getWeight(int v1,int v2){return edges[v1][v2];}//插入结点public void insertVertex(String vertex){vertexList.add(vertex);}//添加边public void insertEdge(int v1,int v2,int weight){edges[v1][v2]=weight;edges[v2][v1]=weight;numOfEdges++;}//显示对应的矩阵public void showGraph(){for (int[] link:edges){System.out.println(Arrays.toString(link));}}//进行深度优先遍历private void dfs(boolean[] isVisited,int i){//首先先访问该结点并输出System.out.print(getValueByIndex(i)+"->");//其次将结点设置为已经访问isVisited[i]=true;//查找结点i的第一个邻接节点int w=getFirstNeighbor(i);//当w!=-1时，表示有邻接节点while (w!=-1){//如果该节点被没有访问过if (!isVisited[w]){dfs(isVisited,w);}//如果w结点已经被访问过w=getNextNeighbor(i,w);}}//对dfs进行一个重载，遍历我们所有的结点，并进行dfspublic void dfs(){isVisited = new boolean[vertexList.size()];//遍历所有的结点，进行dfs[相当于回溯]for (int i=0;i<getNumOfVertex();i++){if (!isVisited[i]){dfs(isVisited,i);}}}//对一个结点进行广度优先遍历的方法private void bfs(boolean[] isVisited,int i){int u;//表示队列的头结点对应下标int w;//邻接节点w//队列，记录访问的顺序LinkedList quene=new LinkedList();//访问结点，输出结点信息System.out.print(getValueByIndex(i)+"->");//标志结点已访问isVisited[i]=true;//将结点加入队列quene.addLast(i);while (!quene.isEmpty()){//取出队列的头结点下标u=(Integer) quene.removeFirst();//得到第一个邻接节点的下标w=getFirstNeighbor(u);while (w!=-1){//如果没有被访问if (!isVisited[w]){//System.out.print(getValueByIndex(w)+"->");//标记已经访问isVisited[w]=true;//入队quene.addLast(w);}//以u为前驱点，找w后面的下一个结点w=getNextNeighbor(u,w);}}}//遍历所有结点，都进行广度优先遍历搜索public void bfs(){isVisited = new boolean[vertexList.size()];for (int i=0;i<getNumOfVertex();i++){bfs(isVisited,i);}}}

测试结果：

"C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\bin\java.exe" "-javaagent:D:\IntelliJ IDEA\IntelliJ IDEA .3.3\lib\idea_rt.jar=10452:D:\IntelliJ IDEA\IntelliJ IDEA .3.3\bin" -Dfile.encoding=UTF-8 -classpath "C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\charsets.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\deploy.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\ext\access-bridge-64.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\ext\cldrdata.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\ext\dnsns.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\ext\jaccess.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\ext\jfxrt.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\ext\localedata.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\ext\nashorn.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\ext\sunec.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\ext\sunjce_provider.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\ext\sunmscapi.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\ext\sunpkcs11.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\ext\zipfs.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\javaws.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\jce.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\jfr.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\jfxswt.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\jsse.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\management-agent.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\plugin.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\resources.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\rt.jar;C:\Users\1\IdeaProjects\algorithm\out\production\algorithm" cn.zzw.algorithm.graph.Graph[0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0][1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0][1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0][0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1][0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1][0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0][0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0][0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0]广度优先遍历1->2->3->4->5->6->7->8->Process finished with exit code 0

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