1、模糊矩阵
定义: 如果对于任意 i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n,i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n,i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n, 都有 rij∈[0,1],r_{i j} \in[0,1],rij∈[0,1], 则称R=(ri,j)m×nR=(r_{i,j})_{m\times n}R=(ri,j)m×n为模糊矩阵。特别地当m=nm=nm=n则称RRR为模糊方阵。通俗地理解，即是若矩阵元素均在区间[0,1][0,1][0,1]上，则称该矩阵为模糊矩阵。
特殊模糊矩阵（零矩阵、单位矩阵、全称矩阵）：
O=(00⋯000⋯0⋮⋮⋮00⋯0)m×n,I=(10⋯001⋱⋮⋮⋱⋱00⋯01)m×n,U=[11⋯111⋯1⋮⋮⋮11⋯1]m×n\boldsymbol{O}=\left(\begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{matrix}\right)_{m\times n}, \quad I=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{matrix}\right)_{m \times n}, \quad U=\left[\begin{matrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{matrix}\right]_{m \times n} O=⎝⎜⎜⎜⎛00⋮000⋮0⋯⋯⋯00⋮0⎠⎟⎟⎟⎞m×n,I=⎝⎜⎜⎜⎜⎛10⋮001⋱⋯⋯⋱⋱00⋮01⎠⎟⎟⎟⎟⎞m×n,U=⎣⎢⎢⎢⎡11⋮111⋮1⋯⋯⋯11⋮1⎦⎥⎥⎥⎤m×n
2、模糊矩阵间的关系
相等：A=B⇔aij=bij,i=1,2,⋯m;j=1,2,⋯,nA=B \Leftrightarrow a_{i j}=b_{i j}, \quad i=1,2, \cdots m ; j=1,2, \cdots, nA=B⇔aij=bij,i=1,2,⋯m;j=1,2,⋯,n包含：A⩽B⇔aij⩽bij,i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,nA \leqslant B \Leftrightarrow a_{i j} \leqslant b_{i j}, i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, nA⩽B⇔aij⩽bij,i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n3、模糊矩阵的交并余运算
并：相同位置元素取大A∪B=(aij∨bij)m×nA \cup B =\left(a_{i j} \vee b_{i j}\right)_{m \times n} A∪B=(aij∨bij)m×n
交: 相同位置元素取小
A∩B=(aij∧bij)m×nA \cap B =\left(a_{i j} \wedge b_{i j}\right)_{m \times n} A∩B=(aij∧bij)m×n
余：1减去所有元素
AC=(1−aij)m×nA^C =\left(1- a_{i j} \right)_{m \times n} AC=(1−aij)m×n
例：
A=(10.10.30.5),B=(0.700.40.9)\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0.1 \\ 0.3 & 0.5 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cc} 0.7 & 0 \\ 0.4 & 0.9 \end{array}\right) A=(10.30.10.5),B=(0.70.400.9)
A∪B=(1∨0.70.1∨00.3∨0.40.5∨0.9)=(10.10.10.9)A∩B=(1∧0.70.1∧00.3∧0.40.5∧0.9)=(0.700.30.5)AC=(1−0.11−0.11−0.31−0.5)=(00.90.70.5)A \cup B=\left(\begin{matrix} 1 \vee 0.7 & 0.1 \vee 0 \\ 0.3 \vee 0.4 & 0.5 \vee 0.9 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 1 & 0.1 \\ 0.1 & 0.9 \end{matrix}\right) \\ A \cap B=\left(\begin{matrix} 1 \wedge 0.7 & 0.1 \wedge 0 \\ 0.3 \wedge 0.4 & 0.5 \wedge 0.9 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 0.7 & 0 \\ 0.3 & 0.5 \end{matrix}\right) \\ \\ A^{C}=\left(\begin{matrix} 1-0.1 & 1-0.1 \\ 1-0.3 & 1-0.5 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 0 & 0.9 \\ 0.7 & 0.5 \end{matrix}\right) A∪B=(1∨0.70.3∨0.40.1∨00.5∨0.9)=(10.10.10.9)A∩B=(1∧0.70.3∧0.40.1∧00.5∧0.9)=(0.70.300.5)AC=(1−0.11−0.31−0.11−0.5)=(00.70.90.5)
注：模糊矩阵的运算性质与模糊集合完全一致。
4、模糊关系
对有限论域 U={u1,u2,⋯,un},V={v1,v2,⋯,vn},U=\left\{u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}\right\}, V=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\},U={u1,u2,⋯,un},V={v1,v2,⋯,vn}, 若元标 rij=R(ui,vj),r_{i j}=R\left(u_{i}, v_{j}\right),rij=R(ui,vj), 则矩阵 R=(rij)n×nR=\left(r_{i j}\right)_{n \times n}R=(rij)n×n,表示从 UUU 到 VVV 的一个模糊关系,或者说一个模糊矩阵确定一个模糊关系.
性质：模糊关系具有对称性和自反性。
5、 模糊关系的合成
定义： 设 Q,RQ, RQ,R 为模糊关系，所谓 QQQ 对 RRR 的合成,就是从 UUU 到 WWW 的一个模糊关系,记作 Q∘RQ\circ RQ∘R. 其定义为：Q∘R=∨k=1l(qik∧rkj)Q \circ R=\vee _{k=1}^{l}(q_{ik} \wedge r_{kj}) \\ Q∘R=∨k=1l(qik∧rkj)
注：这里表示QQQ的每行先与RRR的每列对应对小，再对这一组取大，得到该位置的元素。其操作方式与矩阵乘法类似。
特别地，记：
R2=R∘R,Rn=Rn−1∘RR^{2}=R \circ R, \quad R^{n}=R^{n-1} \circ R R2=R∘R,Rn=Rn−1∘R
例：设模糊关系
Q=(0.30.70.2100.9),R=(0.80.30.10.80.50.6)Q=\left(\begin{matrix} 0.3 & 0.7 & 0.2 \\ 1 & 0 & 0.9 \end{matrix}\right), \quad R=\left(\begin{matrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.1 & 0.8 \\ 0.5 & 0.6 \end{matrix}\right) Q=(0.310.700.20.9),R=⎝⎛0.80.10.50.30.80.6⎠⎞
记：
Q∘R=(s11s12s21s22)Q{\circ} R=\left(\begin{matrix} s_{11} & s_{12} \\ s_{21} & s_{22} \end{matrix}\right) Q∘R=(s11s21s12s22)
由模糊关系合成的定义：
s11=(0.3∧0.8)∨(0.7∧0.1)∨(0.2∧0.5)=0.3s12=(0.3∧0.3)∨(0.7∧0.8)∨(0.2∧0.6)=0.7s21=(1∧0.8)∨(0∧0.1)∨(0.9∧0.5)=0.8s22=(1∧0.3)∨(0∧0.8)∨(0.9∧0.5)=0.6\begin{matrix} s_{11}=(0.3 \wedge 0.8) \vee(0.7 \wedge 0.1) \vee(0.2 \wedge 0.5)=0.3 \\ s_{12}=(0.3 \wedge 0.3) \vee(0.7 \wedge 0.8) \vee(0.2 \wedge 0.6)=0.7 \\ s_{21}=(1 \wedge 0.8) \vee(0 \wedge 0.1) \vee(0.9 \wedge 0.5)=0.8 \\ s_{22}=(1 \wedge 0.3) \vee(0 \wedge 0.8) \vee(0.9 \wedge 0.5)=0.6 \end{matrix} s11=(0.3∧0.8)∨(0.7∧0.1)∨(0.2∧0.5)=0.3s12=(0.3∧0.3)∨(0.7∧0.8)∨(0.2∧0.6)=0.7s21=(1∧0.8)∨(0∧0.1)∨(0.9∧0.5)=0.8s22=(1∧0.3)∨(0∧0.8)∨(0.9∧0.5)=0.6
则：
Q∘R=(0.30.70.80.6)Q {\circ} R=\left(\begin{array}{ll} 0.3 & 0.7 \\ 0.8 & 0.6 \end{array}\right) Q∘R=(0.30.80.70.6)
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