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1. 模糊关系2. 模糊矩阵2.1 定义2.2 运算性质2.3 截矩阵2.4 模糊关系合成3. 模糊关系性质3.1 自反性、对称性、传递性3.2 模糊相似关系与等价关系3.3 对称闭包与传递闭包1. 模糊关系
定义：模糊关系 RRR 的隶属函数 μR:U×V→[0,1]\mu_R:U\times V\to[0,1]μR:U×V→[0,1]，其中 μR(x,y)\mu_R(x,y)μR(x,y) 表示 (x,y)(x,y)(x,y) 具有关系 RRR 的程度
Remarks：实际上模糊关系 RRR 就是定义在一个笛卡尔积的论域 U×VU\times VU×V 上的模糊关系，与之前介绍的普通的模糊关系并无太大差别。
基本运算定义为：
并：μR∪S(x,y)=μR(x,y)∨μS(x,y)\boldsymbol{\mu}_{R \cup S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\boldsymbol{\mu}_{R}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \vee \boldsymbol{\mu}_{S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})μR∪S(x,y)=μR(x,y)∨μS(x,y)交：μR∩S(x,y)=μR(x,y)∧μS(x,y)\boldsymbol{\mu}_{R \cap S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\boldsymbol{\mu}_{R}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \wedge \boldsymbol{\mu}_{S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})μR∩S(x,y)=μR(x,y)∧μS(x,y)补：μRˉ(x,y)=1−μR(x,y)\mu_{\bar{R}}(x,y)=1-\mu_R(x,y)μRˉ(x,y)=1−μR(x,y)包含：R⊆S⇒μR(x,y)≤μS(x,y)\boldsymbol{R} \subseteq \boldsymbol{S} \Rightarrow \boldsymbol{\mu}_{R}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \leq \boldsymbol{\mu}_{S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})R⊆S⇒μR(x,y)≤μS(x,y)相等：R=S⇒μR(x,y)=μS(x,y)\boldsymbol{R} = \boldsymbol{S} \Rightarrow \boldsymbol{\mu}_{R}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \boldsymbol{\mu}_{S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})R=S⇒μR(x,y)=μS(x,y)
一些模糊关系有：
恒等模糊关系：R(x,y)=Ix=yR(x,y)=\mathbb{I}_{x=y}R(x,y)=Ix=y零模糊关系：O(x,y)=0O(x,y)=0O(x,y)=0全称模糊关系：E(x,y)=1E(x,y)=1E(x,y)=1
2. 模糊矩阵
2.1 定义
对于有限论域 U,VU,VU,V，模糊矩阵的定义很容易可以获得 Rij=μR(xi,yj)R_{ij}=\mu_R(x_i,y_j)Rij=μR(xi,yj)
当 RRR 的对角元素全部为 1 时，称为模糊自反矩阵
模糊矩阵对应于集合的运算定义为：
并：R∪S⇔R∪S=(rij∨sij)\boldsymbol{R} \cup \boldsymbol{S} \Leftrightarrow \boldsymbol{R} \cup \boldsymbol{S}=\left(\boldsymbol{r}_{i j} \vee \boldsymbol{s}_{i j}\right)R∪S⇔R∪S=(rij∨sij)交：R∩S⇔R∪S=(rij∧sij)\boldsymbol{R} \cap \boldsymbol{S} \Leftrightarrow \boldsymbol{R} \cup \boldsymbol{S}=\left(\boldsymbol{r}_{i j} \wedge \boldsymbol{s}_{i j}\right)R∩S⇔R∪S=(rij∧sij)补：Rc=(1−rij)R^c=(1-r_{ij})Rc=(1−rij)包含：R⊆S⇔(rij)≤(sij)\boldsymbol{R} \subseteq \boldsymbol{S} \Leftrightarrow\left(\boldsymbol{r}_{i j}\right) \leq\left(\boldsymbol{s}_{i j}\right)R⊆S⇔(rij)≤(sij)相等：R=S⇔(rij)=(sij)\boldsymbol{R} = \boldsymbol{S} \Leftrightarrow\left(\boldsymbol{r}_{i j}\right) =\left(\boldsymbol{s}_{i j}\right)R=S⇔(rij)=(sij)
2.2 运算性质
2.3 截矩阵
截矩阵的定义为 Rλ=(rij(λ))R_\lambda=(r_{ij}(\lambda))Rλ=(rij(λ))，其中 rij(λ)=Irij≥λr_{ij}(\lambda)=\mathbb{I}_{r_{ij}\ge\lambda}rij(λ)=Irij≥λ
Remarks：截矩阵的定义对应着截集的概念，截集得到的是普通集合，响应的截矩阵也是布尔矩阵，完全没有不确定度。
2.4 模糊关系合成
转置：略
模糊乘积：设 Q=(qij)n×m,R=(rij)m×tQ=(q_{ij})_{n\times m},R=(r_{ij})_{m\times t}Q=(qij)n×m,R=(rij)m×t，定义 S=QR∈Fn×tS=QR\in\mathcal{F}_{n\times t}S=QR∈Fn×t，有 Sik=∨j=1m(qij∧rjk)S_{ik}=\vee_{j=1}^m(q_{ij}\wedge r_{jk})Sik=∨j=1m(qij∧rjk)
Remarks：模糊乘积实际上表示了两个模糊关系的复合，即 Q∈F(U×V),R∈F(V×W)Q\in\mathcal{F}(U\times V),R\in\mathcal{F}(V\times W)Q∈F(U×V),R∈F(V×W)，最后合成了模糊关系 S∈F(U×W)S\in\mathcal{F}(U\times W)S∈F(U×W)。从公式上来看，模糊矩阵的乘积跟普通矩阵的乘积很像，只不过乘法换成了 ∧\wedge∧，加法换成了 ∨\vee∨。
模糊关系的合成具有以下性质：
3. 模糊关系性质
3.1 自反性、对称性、传递性
就像普通集合的关系一样，模糊集合有三个重要性质：自反性、对称性、传递性。
自反性：若 ∀x∈U,μR(x,x)=1\forall x\in U,\mu_R(x,x)=1∀x∈U,μR(x,x)=1，则称 RRR 满足自反性，相应的有模糊矩阵 I⊆RI\subseteq RI⊆R
定理 1：若 AAA 为自反矩阵，则有
I⊆A⊆A2⊆⋯⊆An⊆⋯I\subseteq A \subseteq A^2 \subseteq \cdots \subseteq A^n \subseteq \cdots I⊆A⊆A2⊆⋯⊆An⊆⋯
对称性：若 ∀x,y∈U,μR(x,y)=μR(y,x)\forall x,y\in U,\mu_R(x,y)=\mu_R(y,x)∀x,y∈U,μR(x,y)=μR(y,x)，则称 RRR 满足对称性，相应的有模糊矩阵 RT=RR^T=RRT=R
传递性：μR(x,z)≥∨y(μR(x,y)∧μR(y,z))\mu_R(x,z)\ge\vee_y (\mu_R(x,y)\wedge\mu_R(y,z))μR(x,z)≥∨y(μR(x,y)∧μR(y,z))，则称 RRR 满足传递性，相应的有模糊矩阵 R2⊆RR^2\subseteq RR2⊆R
定理 2：若 QQQ 为传递矩阵，则有
Q⊇Q2⊇Q3⊇⋯⊇Qn−1⊇Qn⊇⋯Q \supseteq Q^{2} \supseteq Q^{3} \supseteq \cdots \supseteq Q^{\mathbf{n}-1} \supseteq Q^{\mathbf{n}} \supseteq \cdots Q⊇Q2⊇Q3⊇⋯⊇Qn−1⊇Qn⊇⋯
3.2 模糊相似关系与等价关系
模糊相似关系：R∈F(U×U)R\in F(U\times U)R∈F(U×U)，满足自反性和对称性 ⟹I⊆R⊆R2⊆⋯⊆Rn⊆⋯\Longrightarrow I\subseteq R\subseteq R^2\subseteq \cdots\subseteq R^n\subseteq \cdots⟹I⊆R⊆R2⊆⋯⊆Rn⊆⋯
模糊等价关系：R∈F(U×U)R\in F(U\times U)R∈F(U×U)，满足自反性、对称性和传递性 ⟹R=R2=⋯=Rn=⋯\Longrightarrow R=R^2=\cdots=R^n=\cdots⟹R=R2=⋯=Rn=⋯
定理：RRR 为等价关系 ⟺Rλ\iff R_\lambda⟺Rλ 为等价关系 ∀λ∈[0,1]\forall \lambda\in[0,1]∀λ∈[0,1]
Proof：若 RλR_\lambdaRλ 为等价关系，则意味着 ∀i,j,k\forall i,j,k∀i,j,k，若 rij(λ)=1,rjk(λ)=1⟹rik(λ)=1r_{ij}(\lambda)=1,r_{jk}(\lambda)=1 \Longrightarrow r_{ik}(\lambda)=1rij(λ)=1,rjk(λ)=1⟹rik(λ)=1。因此对于模糊矩阵来说，应有 rij≥λ,rjk≥λ⟹rik≥λr_{ij}\ge\lambda,r_{jk}\ge\lambda \Longrightarrow r_{ik}\ge\lambdarij≥λ,rjk≥λ⟹rik≥λ。在此基础上易证充分必要性。
Remarks：这个定理将模糊等价关系转化为普通等价关系，而普通等价关系可以很容易分类。
3.3 对称闭包与传递闭包
对称闭包：设 A,A^,B∈F(U×U)A,\hat{A},B\in\mathcal{F}(U\times U)A,A^,B∈F(U×U)，若 A⊆A^,AT⊆A^A\subseteq\hat{A},A^T\subseteq\hat{A}A⊆A^,AT⊆A^，且对任意包含 AAA 的对称关系 BBB，都有 A^⊆B\hat{A}\subseteq BA^⊆B，则 A^\hat{A}A^ 为 AAA 的对称闭包，记为 s(A)=A^s(A)=\hat{A}s(A)=A^。
实际上对称闭包就是包含 AAA 的最小的对称关系，很容易的有 s(A)=A∪ATs(A)=A\cup A^Ts(A)=A∪AT
传递闭包：A⊆A^,A2⊆A^A\subseteq\hat{A},A^2\subseteq\hat{A}A⊆A^,A2⊆A^，且任意包含 AAA 的传递关系 BBB 都有 A^⊆B\hat{A}\subseteq BA^⊆B，则 A^\hat{A}A^ 为 AAA 的传递闭包，记为 t(A)=A^t(A)=\hat{A}t(A)=A^。
传递闭包定理 1：t(A)=A∪A2∪⋯∪An∪⋯=⋃k=1∞Akt(A)=A\cup A^2 \cup\cdots\cup A^n\cup\cdots=\bigcup_{k=1}^\infty A^kt(A)=A∪A2∪⋯∪An∪⋯=⋃k=1∞Ak
传递闭包定理 2：t(A)=⋃k=1nAkt(A)=\bigcup_{k=1}^n A^kt(A)=⋃k=1nAk （可以使用鸽巢原理，证明 An+1⊆Am,m≤nA^{n+1}\subseteq A^m,m\le nAn+1⊆Am,m≤n）
传递闭包定理 3：相似矩阵 R∈Un×nR\in U_{n\times n}R∈Un×n 的传递闭包是等价矩阵，且 t(R)=Rnt(R)=R^nt(R)=Rn
传递闭包定理 4：相似矩阵 R∈Un×nR\in U_{n\times n}R∈Un×n，则 ∀m≥n,t(R)=Rm\forall m\ge n,t(R)=R^m∀m≥n,t(R)=Rm
传递闭包定理 5：相似矩阵 R∈Un×nR\in U_{n\times n}R∈Un×n，则 ∃k≤n,t(R)=Rk\exist k\le n,t(R)=R^k∃k≤n,t(R)=Rk
Remarks：
定理 2 证明了传递闭包在实际中是可计算的定理 3-5 中对相似矩阵求传递闭包就得到了等价矩阵，对后面的模糊据类很有用，因为模糊等价矩阵可以与普通等价矩阵联系起来，而若想进行分类，则必须依托于等价关系。
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