数学模型学习——模糊关系与模糊矩阵

一、基本概念

​ 先来看一下模糊关系的定义：

​ 定义：设论域 U,VU,VU,V ，乘积空间上 U×V={(u,v)∣u∈U,v∈V}U\times V=\{(u,v)|u\in U,v\in V\}U×V={(u,v)∣u∈U,v∈V} 上的一个模糊子集 RRR 为从集合 UUU 到集合 VVV 的模糊关系。如果模糊关系 RRR 的隶属函数为

μR:U×V→[0,1],(x,y)↦μR(x,y)\mu_R: U\times V\rightarrow [0,1],(x,y)\mapsto\mu_R(x,y) μR​:U×V→[0,1],(x,y)↦μR​(x,y)

则称隶属度 μR(x,y)\mu_R(x,y)μR​(x,y) 为 (x,y)(x,y)(x,y) 关于模糊关系 RRR 的相关程度。

​ 这是二元模糊关系的数学定义，多元模糊关系也可以类似定义。

​ 模糊关系即为“模糊的关系”，因此乘积空间上的一个子集刻画了论域 U,VU,VU,V 的一种模糊的关系，例如， UUU 为某财经院校学生高考成绩的集合，VVV 为某985院校学生高考成绩的集合，由此“该财经院校学生高考成绩远低于该985院校学生高考成绩”是从 UUU 到 VVV 的一种模糊关系（因为“远低于”概念模糊无法确定），其隶属函数可以表示为：

μR(u,v)={0，u⩾v11+100(u−v)2，u<v\mu_R(u,v)=\begin{cases} 0，u\geqslant v\\ \frac{1}{1+\frac{100}{(u-v)^2}}， u<v\end{cases} μR​(u,v)={0，u⩾v1+(u−v)2100​1​，u<v​

当 U⩾VU\geqslant VU⩾V 时，肯定不会是“远低于”，故隶属度为0；当 U<VU<VU<V 时，可用从0到1的曲线来刻画模糊关系”远低于“的程度。

​ 当 U,VU,VU,V 中的元素有限，任意 xi∈U,yj∈V,i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,nx_i\in U,y_j\in V, i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,nxi​∈U,yj​∈V,i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n ，记 μR(xi,yj)=rij∈[0,1]\mu_R(x_i,y_j)=r_{ij} \in [0,1]μR​(xi​,yj​)=rij​∈[0,1]，于是 R=(rij)m×nR=(r_{ij})_{m\times n}R=(rij​)m×n​ 就是所谓的模糊矩阵，即用矩阵表示了二集合之间的模糊关系（没有具体的隶属函数表达式）。下面给出一般的定义：

​ 定义：设矩阵 R=(rij)m×nR=(r_{ij})_{m\times n}R=(rij​)m×n​ ，且 rij∈[0,1],i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,nr_{ij} \in [0,1],i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,nrij​∈[0,1],i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n ，则称 RRR 为模糊矩阵。

​ 特别地，如果 rij∈{0,1}r_{ij} \in \{0,1\}rij​∈{0,1} ，则称 RRR 为布尔(Bool)矩阵，当模糊方阵 R=(rij)n×nR=(r_{ij})_{n\times n}R=(rij​)n×n​ 的对角线上的元素 rijr_{ij}rij​ 都为1时，则称 RRR 为模糊自反矩阵。

​ 当 m=1m=1m=1 或者 n=1n=1n=1 时，相应的模糊矩阵分别成为模糊行向量和模糊列向量。

二、模糊矩阵的运算及其性质

1.模糊矩阵的运算及其性质

​ 设 A=(aij)m×n,B=(bij)m×nA=(a_{ij})_{m\times n},B=(b_{ij})_{m\times n}A=(aij​)m×n​,B=(bij​)m×n​ 都是模糊矩阵，定义：

​ （1）相等：

A=B⇔aij=bijA=B\Leftrightarrow a_{ij}=b_{ij} A=B⇔aij​=bij​

​ （2）包含：

A≤B⇔aij≤bijA\leq B\Leftrightarrow a_{ij}\leq b_{ij} A≤B⇔aij​≤bij​

​ （3）并：

A∪B=(aij∨bij)m×nA\cup B=(a_{ij}\vee b_{ij})_{m\times n} A∪B=(aij​∨bij​)m×n​

​ （4）交：

A∩B=(aij∧bij)m×nA\cap B=(a_{ij}\wedge b_{ij})_{m\times n}\\ A∩B=(aij​∧bij​)m×n​

​ （5）余：

AC=(1−aij)m×nA^C=(1-a_{ij})_{m\times n} AC=(1−aij​)m×n​

例：设 A=(10.10.30.5),B=(0.700.40.9)A=\left(\begin{matrix} 1&0.1\\0.3&0.5\end{matrix}\right),B=\left(\begin{matrix} 0.7&0\\0.4&0.9\end{matrix}\right)A=(10.3​0.10.5​),B=(0.70.4​00.9​)，则

A∪B=(10.10.40.9),A∩B=(0.700.30.5),AC=(00.90.70.5)A\cup B=\left(\begin{matrix} 1&0.1\\0.4&0.9\end{matrix}\right),A\cap B=\left(\begin{matrix} 0.7&0\\0.3&0.5\end{matrix}\right),A^C=\left(\begin{matrix} 0&0.9\\0.7&0.5\end{matrix}\right) A∪B=(10.4​0.10.9​),A∩B=(0.70.3​00.5​),AC=(00.7​0.90.5​)

2.模糊矩阵的合成

​ 设 A=(aij)m×s,B=(bij)s×nA=(a_{ij})_{m\times s},B=(b_{ij})_{s\times n}A=(aij​)m×s​,B=(bij​)s×n​ 都是模糊矩阵，定义：

A∘B=(cij)m×nA\circ B=(c_{ij})_{m\times n} A∘B=(cij​)m×n​

为 AAA 与 BBB 的合成，其中

cij=max⁡{(aik∧bkj)∣1≤k≤s}c_{ij}=\max\{(a_{ik}\wedge b_{kj})|1\leq k\leq s\} cij​=max{(aik​∧bkj​)∣1≤k≤s}

紧接着可以定义模糊方阵的幂：

A2=A∘A,Ak=Ak−1∘AA^2=A\circ A,A^k=A^{k-1}\circ A A2=A∘A,Ak=Ak−1∘A

例：设 A=(0.40.7010.80.5),B=(10.70.40.600.3)A=\left(\begin{matrix}0.4&0.7&0\\1&0.8&0.5\end{matrix}\right),B=\left(\begin{matrix}1&0.7\\0.4&0.6\\0&0.3\end{matrix}\right)A=(0.41​0.70.8​00.5​),B=⎝⎛​10.40​0.70.60.3​⎠⎞​，则

A∘B=(0.40.610.7),B∘A=(0.70.70.50.60.60.50.30.30.3)A\circ B=\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&0.7\end{matrix}\right),B\circ A=\left(\begin{matrix}0.7&0.7&0.5\\0.6&0.6&0.5\\0.3&0.3&0.3\end{matrix}\right) A∘B=(0.41​0.60.7​),B∘A=⎝⎛​0.70.60.3​0.70.60.3​0.50.50.3​⎠⎞​

3.模糊矩阵的转置

​ 模糊矩阵的转置与一般矩阵的转置定义相同。

4.模糊矩阵的 λ−\lambda-λ−截矩阵

​ 设 A=(aij)m×nA=(a_{ij})_{m\times n}A=(aij​)m×n​，对任意的 λ∈[0,1]\lambda \in [0,1]λ∈[0,1]，

令

aij(λ)={1,aij≥λ0,aij<λa_{ij}^{(\lambda)}=\begin{cases}1,a_{ij}\geq\lambda\\0,a_{ij}<\lambda\end{cases} aij(λ)​={1,aij​≥λ0,aij​<λ​

则称 Aλ=(aij(λ))m×nA_\lambda=(a_{ij}^{(\lambda)})_{m\times n}Aλ​=(aij(λ)​)m×n​ 为模糊矩阵 AAA 的 λ\lambdaλ 截矩阵。

令

aij(λ)={1,aij>λ0,aij≤λa_{ij}^{(\lambda)}=\begin{cases}1,a_{ij}>\lambda\\0,a_{ij}\leq\lambda\end{cases} aij(λ)​={1,aij​>λ0,aij​≤λ​

则称 Aλ⋅=(aij(λ))m×nA_{\lambda_\cdot}=(a_{ij}^{(\lambda)})_{m\times n}Aλ⋅​​=(aij(λ)​)m×n​ 为模糊矩阵 AAA 的 λ\lambdaλ 强截矩阵。

​ 显然，λ\lambdaλ 截矩阵是布尔矩阵。

例：设 A=(10.50.200.510.10.30.20.110.800.30.81)A=\left(\begin{matrix}1&0.5&0.2&0\\0.5&1&0.1&0.3\\0.2&0.1&1&0.8\\0&0.3&0.8&1\end{matrix}\right)A=⎝⎛​10.50.20​0.510.10.3​0.20.110.8​00.30.81​⎠⎞​，则

A0.5=(1100110000110011),A0.3=(1100110100110111)A_{0.5}=\left(\begin{matrix}1&1&0&0\\1&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&1&1\end{matrix}\right),A_{0.3}=\left(\begin{matrix}1&1&0&0\\1&1&0&1\\0&0&1&1\\0&1&1&1\end{matrix}\right) A0.5​=⎝⎛​1100​1100​0011​0011​⎠⎞​,A0.3​=⎝⎛​1100​1101​0011​0111​⎠⎞​

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