曲线拟合
实例:温度曲线问题
气象部门观测到一天某些时刻的温度变化数据为:
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
T
13
15
17
14
16
19
26
24
26
27
29
试描绘出温度变化曲线。
曲线拟合就是计算出两组数据之间的一种函数关系,由此可描绘其变化曲线及估计非采集数据对应的变量信息。
曲线拟合有多种方式,下面是一元函数采用最小二乘法对给定数据进行多项式曲线拟合,最后给出拟合的多项式系数。
1.线性拟合函数:regress()
调用格式:b=regress(y,X)
[b,bint,r,rint,stats]= regress(y,X)
[b,bint,r,rint,stats]= regress(y,X,alpha)
说明:b=regress(y,X)返回X与y的最小二乘拟合值,及线性模型的参数值β、ε。该函数求解线性模型:
y=Xβ+ε
β是p´1的参数向量;ε是服从标准正态分布的随机干扰的n´1的向量;y为n´1的向量;X为n´p矩阵。
bint返回β的95%的置信区间。r中为形状残差,rint中返回每一个残差的95%置信区间。Stats向量包含R2统计量、回归的F值和p值。
例1:设y的值为给定的x的线性函数加服从标准正态分布的随机干扰值得到。即y=10+x+ε
;求线性拟合方程系数。
程序: x=[ones(10,1) (1:10)'];
y=x*[10;1]+normrnd(0,0.1,10,1);
[b,bint]=regress(y,x,0.05)
结果:x =
11
12
13
14
15
16
17
18
19
110
y =
10.9567
11.8334
13.0125
14.0288
14.8854
16.1191
17.1189
17.9962
19.0327
20.0175
b =
9.9213
1.0143
bint =
9.788910.0537
0.99301.0357
即回归方程为:y=9.9213+1.0143x
2.多项式曲线拟合函数:polyfit( )
调用格式:p=polyfit(x,y,n)
[p,s]= polyfit(x,y,n)
说明:x,y为数据点,n为多项式阶数,返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。矩阵s用于生成预测值的误差估计。(见下一函数polyval)
例2:由离散数据
x
0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1
y
.3
.5
1
1.4
1.6
1.9
.6
.4
.8
1.5
2
拟合出多项式。
程序:
x=0:.1:1;
y=[.3
.5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2];
n=3;
p=polyfit(x,y,n)
xi=linspace(0,1,100);
z=polyval(p,xi);
%多项式求值
plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b')
legend('原始数据','3阶曲线')
结果:
p =
16.7832-25.745910.9802-0.0035
多项式为:16.7832x3-25.7459x2+10.9802x-0.0035
曲线拟合图形:
如果是n=6,则如下图:
也可由函数给出数据。
例3:x=1:20,y=x+3*sin(x)
程序:
x=1:20;
y=x+3*sin(x);
p=polyfit(x,y,6)
xi=linspace(1,20,100);
z=polyval(p,xi);
%多项式求值函数
plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b')
legend('原始数据','6阶曲线')
结果:
p =
0.0000-0.00210.0505-0.59713.6472
-9.729511.3304
再用10阶多项式拟合
程序:x=1:20;
y=x+3*sin(x);
p=polyfit(x,y,10)
xi=linspace(1,20,100);
z=polyval(p,xi);
plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b')
legend('原始数据','10阶多项式')
结果:p =
Columns 1 through 7
0.0000-0.00000.0004-0.01140.1814-1.806511.2360
Columns 8 through 11
-42.086188.5907-92.815540.2671
可用不同阶的多项式来拟合数据,但也不是阶数越高拟合的越好。
3.
多项式曲线求值函数:polyval( )
调用格式:y=polyval(p,x)
[y,DELTA]=polyval(p,x,s)
说明:y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。
[y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y
DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的,并且方差为常数。则Y DELTA将至少包含50%的预测值。
4.
多项式曲线拟合的评价和置信区间函数:polyconf( )
调用格式:[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s)
[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s,alpha)
说明:[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s)使用polyfit函数的选项输出s给出Y的95%置信区间Y
DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的,并且方差为常数。1-alpha为置信度。
例4:给出上面例1的预测值及置信度为90%的置信区间。
程序:x=0:.1:1;
y=[.3
.5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2]
n=3;
[p,s]=polyfit(x,y,n)
alpha=0.05;
[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s,alpha)
结果:
p =
16.7832-25.745910.9802-0.0035
s =
R:
[4x4 double]
df: 7
normr: 1.1406
Y =
Columns 1 through 9
-0.00350.85381.29701.42661.34341.14800.94130.82380.8963
Columns 10 through 11
1.25942.0140
5.
稳健回归函数:robust( )
稳健回归是指此回归方法相对于其他回归方法而言,受异常值的影响较小。
调用格式:b=robustfit(x,y)
[b,stats]=robustfit(x,y)
[b,stats]=robustfit(x,y,’wfun’,tune,’const’)
说明:b返回系数估计向量;stats返回各种参数估计;’wfun’指定一个加权函数;tune为调协常数;’const’的值为’on’(默认值)时添加一个常数项;为’off
’时忽略常数项。
例5:演示一个异常数据点如何影响最小二乘拟合值与稳健拟合。首先利用函数y=10-2x加上一些随机干扰的项生成数据集,然后改变一个y的值形成异常值。调用不同的拟合函数,通过图形观查影响程度。
程序:x=(1:10)’;
y=10-2*x+randn(10,1);
y(10)=0;
bls=regress(y,[ones(10,1) x]) %线性拟合
brob=robustfit(x,y) %稳健拟合
scatter(x,y)
hold on
plot(x,bls(1)+bls(2)*x,’:’)
plot(x,brob(1)+brob(2)*x,’r‘)
结果 : bls =
8.4452
-1.4784
brob =
10.2934
-2.0006
分析:稳健拟合(实线)对数据的拟合程度好些,忽略了异常值。最小二乘拟合(点线)则受到异常值的影响,向异常值偏移。
6.
向自定义函数拟合
对于给定的数据,根据经验拟合为带有待定常数的自定义函数。
所用函数:nlinfit( )
调用格式:[beta,r,J]=nlinfit(X,y,’fun’,betao)
说明:beta返回函数’fun’中的待定常数;r表示残差;J表示雅可比矩阵。X,y为数据;‘fun’自定义函数;beta0待定常数初值。
例6:在化工生产中获得的氯气的级分y随生产时间x下降,假定在x≥8时,y与x之间有如下形式的非线性模型:
现收集了44组数据,利用该数据通过拟合确定非线性模型中的待定常数。
xyxyxy
80.49160.43280.41
80.49180.46280.40
100.48180.45300.40
100.47200.42300.40
100.48200.42300.38
100.47200.43320.41
120.46200.41320.40
120.46220.41340.40
120.45220.40360.41
120.43240.42360.36
140.45240.40380.40
140.43240.40380.40
140.43260.41400.36
160.44260.40420.39
160.43260.41
首先定义非线性函数的m文件:fff6.m
function yy=model(beta0,x)
a=beta0(1);
b=beta0(2);
yy=a+(0.49-a)*exp(-b*(x-8));
程序:
x=[8.00 8.00 10.00 10.00 10.00 10.00 12.00 12.00 12.00 14.00
14.00 14.00...
16.00 16.00 16.00 18.00 18.00 20.00 20.00 20.00 20.00 22.00 22.00
24.00...
24.00 24.00 26.00 26.00 26.00 28.00 28.00 30.00 30.00 30.00 32.00
32.00...
34.00 36.00 36.00 38.00 38.00 40.00 42.00]';
y=[0.49 0.49 0.48 0.47 0.48 0.47 0.46 0.46 0.45 0.43 0.45 0.43 0.43
0.44 0.43...
0.43 0.46 0.42 0.42 0.43 0.41 0.41 0.40 0.42 0.40 0.40 0.41 0.40
0.41 0.41...
0.40 0.40 0.40 0.38 0.41 0.40 0.40 0.41 0.38 0.40 0.40 0.39
0.39]';
beta0=[0.30 0.02];
betafit = nlinfit(x,y,'sta67_1m',beta0)
结果:betafit =
0.3896
0.1011
即:a=0.3896 ,b=0.1011
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