抽样调查之比率估计与回归估计
1、欲调查某地区2000户家庭每月的电信增值业务支出情况，采用简单随机抽样，调查了30户，调查每户家庭的电信业务支出和增值业务支出，数据见表1.。若本地区每户家庭的平均电信业务支出为362.8元，试给出每户家庭平均增值业务支出的比率估计和回归估计，并比较两者的精度。（一）比率估计样本比率比率估计量比率估计量的方差估计比率估计量的标准差估计 （二）回归估计：回归系数估计回归估计量回归估计量的方差估计回归估计量的标准差估计1、欲调查某地区2000户家庭每月的电信增值业务支出情况，采用简单随机抽样，调查了30户，调查每户家庭的电信业务支出和增值业务支出，数据见表1.。若本地区每户家庭的平均电信业务支出为362.8元，试给出每户家庭平均增值业务支出的比率估计和回归估计，并比较两者的精度。
【解题过程】写清楚解题过程，公式用公式编辑器输入。
解：记电信支出为X，增值业务为Y。
已知：N=2000，n=30
根据表计算得：
（一）比率估计
样本比率
比率估计量
比率估计量的方差估计
比率估计量的标准差估计
（二）回归估计：
回归系数估计
回归估计量
回归估计量的方差估计
回归估计量的标准差估计
故综上所述，回归估计具有更高的精度。
【R语言代码】
#总体单元数N=2000 #样本量n=30 #总体均值Xmean=362.8 #调查数据y1=c(80,100,160,350,100,30,30,50,110,70,200,150,140,300,60,58,90,110,175,50,140,90,70,125,80,110,120,150,60,110)x1=c(180,260,300,500,210,100,120,160,200,280,350,240,210,450,100,168,200,180,290,150,240,220,160,235,190,240,230,200,140,220)#样本均值ymean=mean(y1);ymeanxmean=mean(x1);xmean#样本方差sy2=sum((y1-ymean)^2)/(n-1);sy2sx2=sum((x1-xmean)^2)/(n-1);sx2#样本协方差sxy=sum((x1-xmean)*(y1-ymean))/(n-1);sxy
【输出结果】
> #样本均值> ymean=mean(y1);ymean[1] 115.6> xmean=mean(x1);xmean[1] 224.1> #样本方差> sy2=sum((y1-ymean)^2)/(n-1);sy2[1] 5055.628> sx2=sum((x1-xmean)^2)/(n-1);sx2[1] 7973.266> #样本协方差> sxy=sum((x1-xmean)*(y1-ymean))/(n-1);sxy[1] 5910.007
【R语言代码】
#样本比率r=round(ymean/xmean,3);r#每户家庭平均增值业务支出的比率估计量为Ymean=r*Xmean;Ymean#比率估计量的方差估计为vY=(1-n/N)/n*sum(sy2+sx2*r^2-2*r*sxy);vY#比率估计量的标准差估计为sdvY=sqrt(vY);sdvY
【输出结果】
> #样本比率> r=round(ymean/xmean,3);r[1] 0.516> #每户家庭平均增值业务支出的比率估计量为> Ymean=r*Xmean;Ymean[1] 187.2048> #比率估计量的方差估计为> vY=(1-n/N)/n*sum(sy2+sx2*r^2-2*r*sxy);vY[1] 35.44129> #比率估计量的标准差估计为> sdvY=sqrt(vY);sdvY[1] 5.953259
【R语言代码】
#回归系数估计为b=round(sum((y1-ymean)*(x1-xmean))/sum((x1-xmean)^2),3);b#每户家庭平均增值业务支出的回归估计量为ymeanLR=ymean+b*(Xmean-xmean);ymeanLR#回归估计量的方差估计为vYLR=(1-n/N)/(n*(n-2))*sum((y1-ymean-b*(x1-xmean))^2);vYLR#回归估计量的标准差估计为sdvYLR=sqrt(vYLR);sdvYLR
【输出结果】
> #回归系数估计为> b=round(sum((y1-ymean)*(x1-xmean))/sum((x1-xmean)^2),3);b[1] 0.741> #每户家庭平均增值业务支出的回归估计量为> ymeanLR=ymean+b*(Xmean-xmean);ymeanLR[1] 218.3767> #回归估计量的方差估计为> vYLR=(1-n/N)/(n*(n-2))*sum((y1-ymean-b*(x1-xmean))^2);vYLR[1] 22.95286> #回归估计量的标准差估计为> sdvYLR=sqrt(vYLR);sdvYLR[1] 4.790914
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