matla数值与符号运算
1. 多项式计算
主函数
clcclearclose%多项式 x^4-12*x^3+25*x+116p=[1 -12 0 25 116]%多项式求值函数 polyval 与 polyvalm %格式 ：Y=polyval(p,x)Y=polyval(p,1)Y=polyval(p,2)Y=polyval(p,3)Y=polyval(p,4)%当x为矩阵式时 polyval 结果是 A.*A.A+5*A.*A-13*A+8*eye(size(A))%当x为矩阵式时 polyvalm 结果是 A*AA+5*A*A-13*A+8*ones(size(A))%注意x一定是方阵Y=polyval(p,[1,2;3,4])Y=polyvalm(p,[1,2;3,4])%多项式求根函数 roots%功能 用来求多行是=0的方程的根%格式 r=roots（p）%说明 r是根列向量，即r(1),r(2),r(3)....r(n)分别存储多项式p的n个根r=roots(p)%多项式系数函数函数 poly%功能 已知多行是=0的方程的根，反求多项式系数%格式 p=poly(p)%说明 r是根列向量，即r(1),r(2),r(3)....r(n)分别存储多项式p的n个根 p是多项式系数行向量a=poly(r)p%多项式相乘 conva=[1 2 3]b=[1 2]p=conv(a,b)%表示(x^2+2*x+3)*(x+2)=(x^3+4*x^2+7*x+6)%多项式相除 deconv[q,r]=deconv(p,b)%q是商多项式%r是余多项式%多项式求导 polydera=[1 2 3]p=polyder(a)
多项式表述方法
将多项式降幂排列，并用行向量保存。
%多项式 x^4-12*x^3+25*x+116p=[1 -12 0 25 116]
多项式求值函数 polyval 与 polyvalm
%多项式求值函数 polyval 与 polyvalm %格式 ：Y=polyval(p,x)Y=polyval(p,1)Y=polyval(p,2)Y=polyval(p,3)Y=polyval(p,4)%当x为矩阵式时 polyval 结果是 A.*A.A+5*A.*A-13*A+8*eye(size(A))%当x为矩阵式时 polyvalm 结果是 A*AA+5*A*A-13*A+8*ones(size(A))%注意x一定是方阵Y=polyval(p,[1,2;3,4])Y=polyvalm(p,[1,2;3,4])
多项式求根函数 roots 与 多项式系数函数函数 poly
%多项式求根函数 roots%功能 用来求多行是=0的方程的根%格式 r=roots（p）%说明 r是根列向量，即r(1),r(2),r(3)....r(n)分别存储多项式p的n个根r=roots(p)%多项式系数函数函数 poly%功能 已知多行是=0的方程的根，反求多项式系数%格式 p=poly(p)%说明 r是根列向量，即r(1),r(2),r(3)....r(n)分别存储多项式p的n个根 p是多项式系数行向量a=poly(r)p
多项式相乘 conv 与 多项式相除 deconv
%多项式相乘 conva=[1 2 3]b=[1 2]p=conv(a,b)%表示(x^2+2*x+3)*(x+2)=(x^3+4*x^2+7*x+6)%多项式相除 deconv[q,r]=deconv(p,b)%q是商多项式%r是余多项式
多项式求导 polyder
%多项式求导 polydera=[1 2 3]p=polyder(a)
实验
clcclearclose%多项式相乘 conva=[1 2 3]b=[1 2]p=conv(a,b)x=p+1%表示(x^2+2*x+3)*(x+2)=(x^3+4*x^2+7*x+6)%多项式相除 deconv[q,r]=deconv(p,b)[q,r]=deconv(x,b)%q是商多项式%r是余多项式
2. 数值插值
代码
clcclearclose%一直概率积分函数f(x)=2/squrt(pi)*积分符号 0至x e^(-x^2)dx%一维数据插值 interp1%x1取值范围不能超过x，否则会产生NaN错误x=0.46:0.01:0.49;y=[0.484,0.494,0.503,0.512];x1=0.472;% y1=interp1(x,y,x1,'metdod')y1(1)=interp1(x,y,x1);y1(2)=interp1(x,y,x1,'metdod');y1(3)=interp1(x,y,x1,'linear');%用线性插值方法计算y1(4)=interp1(x,y,x1,'nearest');%用最近点插值方法计算y1(5)=interp1(x,y,x1,'puchip');%三次插值方法计算y1(6)=interp1(x,y,x1,'spline');% metdod 是插值方法 为，'linear' ‘nearest’ ‘cubic’ 改成'puchip' ‘spline’ y1%二维数据插值 interp2 与 griddata%类似于网格节点(均匀分布) interp2% z1=interp2(x,y,z,x1,y1,'metdod')%xy是已知的向量，表示采样点%z是采样点对应的函数值% metdod 是插值方法 与一维一致x=0:2.5:10y=[0:30:60]'z=[95 14 0 0 0;88 48 32 12 6;67 64 54 48 41;]x1=0:1:10y1=[0:10:60]'z1=interp2(x,y,z,x1,y1)x2=7y2=9z2=interp2(x,y,z,x2,y2)%散乱节点(不均匀分布) griddata% cz=griddata(x,y,z,cx,cy,'metdod')%cx行向量cy列向量% metdod 是插值方法 为，'linear'双线性插值 ‘nearest’最邻近插值‘cubic’ 改成'puchip'双三次性插值%‘v4’-matlab 提供插值方法省缺时，双线性插值 x=-3+6*rand(200,1)y=-2+4*rand(200,1)[xx,yy]=meshgrid(x,y)zz=(xx.^2-2*xx).*exp(-xx.^2-yy.^2-xx.*yy)mesh(xx,yy,zz)[cx,cy]=meshgrid(-3:0.1:3,-2:0.2:2)figurecz=griddata(xx,yy,zz,cx,cy)mesh(cx,cy,cz)
一维数据插值 interp1
y1=interp1(x,y,x1,‘metdod’);x1取值范围不能超过x，否则会产生NaN错误
metdod 是插值方法 ‘linear’ ‘nearest’ ‘cubic’改成’puchip’ ‘spline’
linear %用线性插值方法计nearest %用最近点插值方法计算puchip %三次插值方法计算spline
代码
%一维数据插值 interp1%x1取值范围不能超过x，否则会产生NaN错误x=0.46:0.01:0.49;y=[0.484,0.494,0.503,0.512];x1=0.472;% y1=interp1(x,y,x1,'metdod')y1(1)=interp1(x,y,x1);y1(2)=interp1(x,y,x1,'metdod');y1(3)=interp1(x,y,x1,'linear');%用线性插值方法计算y1(4)=interp1(x,y,x1,'nearest');%用最近点插值方法计算y1(5)=interp1(x,y,x1,'puchip');%三次插值方法计算y1(6)=interp1(x,y,x1,'spline');% metdod 是插值方法 为，'linear' ‘nearest’ ‘cubic’ 改成'puchip' ‘spline’ y1
二维数据插值 interp2 与 griddata
类似于网格节点(均匀分布) interp2
z1=interp2(x,y,z,x1,y1,‘metdod’)xy是已知的向量，表示采样点z是采样点对应的函数值
metdod 是插值方法 与一维一致
代码
%二维数据插值 interp2 与 griddata%类似于网格节点(均匀分布) interp2% z1=interp2(x,y,z,x1,y1,'metdod')%xy是已知的向量，表示采样点%z是采样点对应的函数值% metdod 是插值方法 与一维一致x=0:2.5:10y=[0:30:60]'z=[95 14 0 0 0;88 48 32 12 6;67 64 54 48 41;]x1=0:1:10y1=[0:10:60]'z1=interp2(x,y,z,x1,y1)x2=7y2=9z2=interp2(x,y,z,x2,y2)
散乱节点(不均匀分布) griddatac
z=griddata(x,y,z,cx,cy,‘metdod’)cx行向量cy列向量
metdod 是插值方法
'linear'双线性插值‘nearest’最邻近插值‘cubic’改成'puchip'双三次性插值‘v4’-matlab 提供插值方法省缺时，双线性插值
代码
%散乱节点(不均匀分布) griddata% cz=griddata(x,y,z,cx,cy,'metdod')%cx行向量cy列向量% metdod 是插值方法 为，'linear'双线性插值 ‘nearest’最邻近插值‘cubic’ 改成'puchip'双三次性插值%‘v4’-matlab 提供插值方法省缺时，双线性插值 x=-3+6*rand(200,1)y=-2+4*rand(200,1)[xx,yy]=meshgrid(x,y)zz=(xx.^2-2*xx).*exp(-xx.^2-yy.^2-xx.*yy)mesh(xx,yy,zz)[cx,cy]=meshgrid(-3:0.1:3,-2:0.2:2)figurecz=griddata(xx,yy,zz,cx,cy)mesh(cx,cy,cz)
3. 数据拟合
多项式拟合 polyfit
功能
已知一组数据(采样点和对应函数值)，计算其拟合多样式
格式 [p,s]=polyfit(X,Y,m)
自变量X因变量Y多项式次数m多项式系数p参差s(误差)
说明
xy等长向量，是采样点对应函数值
例题1 用一个三次多项式在区间[0，2*pi]内逼近函数sin(x)
x=linspace(0,2*pi,50);y=sin(x);[p,s]=polyfit(x,y,3)y1=polyval(p,x,'r');plot(x,y,'*')hold onplot(x,y1)
例题2分别用3次多项式和6次多项式曲线拟合实验数据
x=0:0.1:1;y=[0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.3 11.2]
x=0:0.1:1;y=[0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.3 11.2]plot(x,y,'k.','markersize',25)p3=polyfit(x,y,3)p6=polyfit(x,y,6)y3=polyval(p3,x,'r');y6=polyval(p6,x,'b');axis([0 1.3 -2 16])hold onplot(x,y3)plot(x,y6)
预判预测
x=0:0.1:1;y=[0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.3 11.2]plot(x,y,'k.','markersize',25)p3=polyfit(x,y,3)p6=polyfit(x,y,6)y3=polyval(p3,x,'r');y6=polyval(p6,x,'b');axis([0 1.3 -2 16])hold onplot(x,y3)plot(x,y6)figuret=-1:0.1:2s3=polyval(p3,t,'r');s6=polyval(p6,t,'b');hold onaxis([-1 2 -10 20])plot(x,y,'k.','markersize',25)plot(t,s3)plot(t,s6)
当拟合曲线相差不多是，尽量选择多项式项数少的拟合曲线
x=0:0.1:1;y=[0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.3 11.2]plot(x,y,'k.','markersize',25)p3=polyfit(x,y,3)p6=polyfit(x,y,6)y3=polyval(p3,x,'r');y6=polyval(p6,x,'b');axis([0 1.3 -2 16])hold onplot(x,y3)plot(x,y6)figuret=-1:0.1:2s3=polyval(p3,t,'r');s6=polyval(p6,t,'b');hold onaxis([-1 2 -10 20])plot(x,y,'k.','markersize',25)plot(t,s3,'r-','linewidth',3)plot(t,s6,'b-','linewidth',3)grid on
function my_polyfit(x,y,a,b)
function my_polyfit(x,y,a,b)% close all% x=0:16;% y=[30 29.1 28.4 28.1 28.0 27.7 27.5 27.2 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 24.0 ];% a=1;% b=3;plot(x,y,'k.','markersize',25)pa=polyfit(x,y,a);pb=polyfit(x,y,b);ya=polyval(pa,x,'r');yb=polyval(pb,x,'b');hold onplot(x,ya)plot(x,yb)figurem=max(x);n=min(x);t=n-(m+n)/2:0.1:m+(m-n)/2;sa=polyval(pa,t,'r');sb=polyval(pb,t,'b');hold onplot(x,y,'k.','markersize',25)plot(t,sa,'r-','linewidth',1)plot(t,sb,'b-','linewidth',1)grid onend
非线性拟合 lsq curve fit(最小二乘数 曲线 拟合)lsqcurvefit
说明
根据给定的数据xdata，ydata(自变量，应变量)按函数文件fun给定函数定义，以x0为初值作为最小二乘曲线拟合返回函数fun中的系数向变量x和参差平方和resnorm用残差平方和来评价拟合效果
例题
求参数abc使得曲线在f(x)=aex+b*x2+cx^3与已知数据点在最小二乘意义上充分接近
x=0:0.1:1;y=[3.1 3.27 3.81 4.5 5.18 6 7.05 8.56 9.69 11.25 13.17];
主函数my_lsqcurvefit
clcclearclose allx=0:0.1:1;y=[3.1 3.27 3.81 4.5 5.18 6 7.05 8.56 9.69 11.25 13.17];a=[0 0 0][a,resnorm]=lsqcurvefit(@nihehanshu,a,x,y)%非线性拟合plot(x,y,'k.','markersize',25)z=nihehanshu(a,x)hold onplot(x,z,'r')
功能函数
function f=nihehanshu(a,x)f=a(1)*exp(x)+a(2)*x.^2+a(3)*x.^3;end
4. 数据微积分
数值微分
基本原理
差分法
前向差分后向差分中心差分
matlab微分基本途径
利用多项式直接求导直接计算差分
对向量X求前向差分：DX=diff(X)对向量X求n阶前向差分：DX=diff(X,n)对矩阵X求n阶前向差分：DX=diff(X,n，dim)
代码示例
clcclearclose allx=0:0.1:2*pi;p=polyfit(x,sin(x),5)dp=polyder(p)dpx=polyval(dp,x)dx=diff(sin([x,6.4]))/0.1plot(x,dpx+01,'x',x,dx+2,'*',x,cos(x),'o')
数值积分
数值积分基本公式
基本梯形求积公式s1=(b-a)/2*[f(a)+f(b)]基本辛普森求积公式s2=(b-a)/6*{f(a)+4*f[(a+b)/2]+f(b)}复合梯形求积公式s3=复合辛普森求积公式s4=
matlab积分函数 quad 与 quadl
quad(filename,a,b,tol,trace)quadl(filename,a,b,tol,trace)
说明
filename 被积函数a,b 积分上下限tol 积分精度(默认10^(-6))trace 0 不显示积分过程 非0 显示积分过程(默认值是零)x1=quad('sin(x)',0,pi)x2=quadl('sin(x)',0,pi)
trapz
trapz(x,y)%x,y是等长向量trapz的被积函数是用表格形式来定义的.也就是x表示自变量y表示因变量，直接求积分
一重积分 quad 与 quadl 与 trapz
clcclearclose allx1=quad('sin(x)',0,pi)x2=quadl('sin(x)',0,pi)x=0:0.01:pi;y=sin(x);trapz(x,y)%x,y是等长向量
二重积分 dblquad 与 与(10分钟)
例题
求二重积分
主函数
clcclearclose allglobal ki;ki=0;z1=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)f=inline('exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)','x','y')z2=dblquad(f,-2,2,-1,1)
功能函数 f= fxy(x,y)
function f= fxy(x,y)global ki;ki=ki+1;f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);end
5. 符号运算基础
定义符号变量定义符号矩阵定义符号运算规则符号计算与数值计算的转换
实验比较
clcclearclose alla=sym('a')b=sym('b')c=sym('c')d=sym('d')w=[a b;c d;]det(w)
clcclearclose allw=10;x=5;y=-8;z=11;b=[w x;y z;]det(b)
符号运算与数值运算区别
数值运算必须先对变量赋值，然后才能参与运算符号运算无需对独立变量赋值，运算结果以符号形式表达matlab的符号运算功能是通过调用 '符号运算工具箱(Symbolic Math Toolbox)'内的工具实现的
符号表达式的创建
直接法(式子比较简单)f1='a*x^2+b*x+c'%多项式 字符串构建f2='a*x^2+b*x+c=0'%方程f3='Dy+y^2=1'%微分方程
实例
x=sym('1+sqrt(6)')y=cos(x)
函数法sym
作用:定义单个符号变量格式:符号变量名=sym('表达式')说明:表达式可以是字符，字符串，数字表达式或者字符表达式。
函数法syms
作用:定义单个或者多个符号变量格式:syms var1 var2 var3 var4 ... varn说明:表达式可以是字符，字符串，数字表达式或者字符表达式。
例题：计算3阶范德蒙行列式的值
clcclearclose allsyms a b c;u=[a,b,c]%建立范德蒙符号矩阵t=[1,1,1;u;u.^2]%计算矩阵t行列式值det(t)
符号表达式运算
四则运算clcclearclose allsyms x y z;f=2*x+x^2*x-5*x+x^3f=2*x/(5*x)f=(x+y)*(x-y)
构建符号函数 compose(复合函数)
clcclearclose allsyms xf=sin(x)g=x^2compose(f,g)compose(g,f)
求反函数 finverse
clcclearclose allsyms xf=sin(x)g=x^2f=finverse(f)g=finverse(g)m=2*x+3n=finverse(m)m=finverse(n)
因式分解与展开 factor 与 expand
factor(s) 把多项式转为乘积模式expand(s) 将乘积展开为多项式
clcclearclose allsyms x a bt=(2*a^2*b^3*x^2-4*a*b^4+10*a*b^6*x^4)/4m=factor(t)n=expand(m)
collect(s) 将s合并同类项collect(s,v) 将s按变量v合并同类项(指定变量名)s是符号表达式或者是符号矩阵
clcclearclose allsyms x ys=(-7*x^2-8*y^2)*(-x^2+3*y^2)expand(s)collect(s,x)collect(s,y)factor(s)
表达式简化 simplify 与 simple
simplify 用函数规则对s函数进行化简。即利用各种恒等式化简代数式simple 调用matlab的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程
clcclearclose allsyms x ys=(-7*x^2-8*y^2)*(-x^2+3*y^2)simplify(s)
符号表达时转换(符号表达是与数值表达式之间) eval
clcclearclose allsyms x yy=sin(x)x=pi/4yf=eval(y)
clcclearclose allp=1.414q=sym(p)
eval应用
clcclearclose allsyms x yy=x^4+x^3-x^0.1x=2yeval(y)
符号矩阵 用 sym 创建
clcclearclose allsyms a b c dx=sym([1 2 3 4])% x=sym('[a b c d]')%不成功y=sym([a b c d])z=sym([a b c 2])w=sym([a b c 90])x*2y*2z*2w+z
符号矩阵 用 字符串 直接 创建 符号矩阵
6. 符号运算应用
符号函数 求 导 diff(f,v,n)
diff 符号函数 数值函数 两种情况下都可以运用f 符号函数v 符号变量n 缺省值1 n阶导数
clcclearclose allsyms a tx=a*sin(t)y=a*cos(t)m1=diff(y)/diff(x)m2=( diff(x)*diff(y,2)-diff(y)*diff(x,2) )/ (diff(x))^3
符号函数 求 不定积分
符号函数 求 定积分
clcclearclose allsyms t xf=5*x*t/(1+x^2);m1=int(f)m11=int(f,x)%对x求不定积分m2=int(f,t)%对t求不定积分m3=int(f,1,2)%对x求定积分m4=int(f,t,1,2)%对t求定积分
符号 代数方程求解(等式)表达式(=0) solve(eq,v)
eq 是方程 而且是 等式方程v 是求解变量solve(eq1,eq2,eq3,eqn,v1,v2,v3,vn)代数方程组的求解
代数方程求解 一元解方程 solve(eq,v)
clcclearclose allsyms y x% y=x^2+2*x=3y=x^2+2*x-3solve(y)solve(x^2+2*x-3)
代数方程求解 多元解方程 solve(eq1,eq2,eq3,eqn,v1,v2,v3,vn)
clcclearclose allsyms y x% 2*x+y+5=0% x+y-4=0m=2*x+y+5n=x+y-4[x,y]=solve(m,n,x,y)solve(m,n,x,y)
如果觉得《matlab数值与符号运算》对你有帮助，请点赞、收藏，并留下你的观点哦！
