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MATLAB中的微积分运算（数值符号）

时间：2023-12-05 18:45:37

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MATLAB中的微积分运算（数值符号）

显然这个函数是单词differential（微分）的简写，用于计算微分。实际上准确来说计算的是差商。

如果输入一个长度为n的一维向量，则该函数将会返回长度为n-1的向量，向量的值是原向量相邻元素的差，于是可以计算一阶导数的有限差分近似。

(1)符号微分

1.常用的微分函数

函数:diff(f) 求表达式f对默认自变量的一次微分值

diff(f,x) 求表达式f对自变量x的一次积分值

diff(f,n) 求表达式f对默认自变量的n次微分值

diff(f,t,n)求表达式f对自变量t的n次微分值

>> x=1:10x =123456789 10>> diff(x)ans =111111111

例1:求矩阵中各元素的导数

求矩阵[1/(1+a) (b+x)/cos(x)

1/(x*y) exp(x^2)]

对x的微分,可以输入以下命令

A = sym('[1/(1+a),(b+x)/cos(x);1,exp(x^2)]');B = diff(A,'x')

可得到如下结果:

例2:求偏导数

求的偏导数。

syms x y;f = x*exp(y)/y^2;fdx = diff(f,x)fdy = diff(f,y)

可得到如下结果：

例3:求复合函数的导数

求的导数

sym('x');y = 'x*f(x^2)'y1 = diff(y,'x')

得到结果如下：

例4:求参数方程的导数

对参数方程求导

syms a b tf1 = a*cos(t);f2 = b*sin(t);A = diff(f2)/diff(f1) %此处代入了参数方程的求导公式B = diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/diff(f1)^3 %求二阶导数

可得到如下结果：

例5:求隐函数的导数

求的一阶导数

syms x yp = 'x*y(x)-exp(x+y(x))'%隐函数可进行整体表示%注意y（x）这种写法，它代表了y是关于x的函数p1 = diff(p,x)

可得到如下结果：

2.符号积分

1符号函数的不定积分

函数:int

功能:求取函数的不定积分

语法:

int(f)

int(f,x)

说明:第一个是求函数f对默认自变量的积分值;第二个是求自变量f对对自变量t的不定积分值。

例：分别求函数f（x）=（3-x2）3、的不定积分。

x = sym('x');

%函数的输入f1 = (3-x^2)^3;f2 = sqrt(x^3 + x^4);

%对函数进行积分intf1 = int(f1)intf2 = int(f2)

可得结果如下：

2符号函数的定积分

函数:int

功能:求取函数的定积分

语法:

int(f,a,b)

int(f,x,a,b)

说明:第一个是求表达式f对默认自变量的定积分值，积分区间为

[a,b];第二个是求表达式f对自变量x的定积分值，积分区间为[a，b]。

例：分别求、、、的定积分。

syms x t%输入函数方程式f1 = abs(1-x);f2 = 1/(1+x^2);f3 = 4*t*x;f4 = x^3/(x-1)^100;%求取函数积分intf1 = int(f1,1,2)intf2 = int(f2,-inf,+inf)intf3 = int(f3,2,sin(t))intf4 = int(f4,2,3)

可得到如下结果：

(2)数值微分

在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff。

函数:diff

功能:求取数值微分

语法:

DX = diff(X)

DX = diff(X,n)

DX = diff(X,n,dim)

说明:第一个计算向量X的向前差分，即DX(i) = X(i+1)-X(i),i=1,2,...,n-1。第二个是计算X的n阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。第三个计算矩阵A的n阶差分，当dim=1或缺省状态时，按行计算差分；dim=2，按列计算差分。

例：设x由[0,2π]间均匀分布的10个点组成，求sinx的1到3阶差分。

x = linspace(0,2*pi,10);

y = sin(x);

Dy = diff(y)

Dy2 = diff(y,2)

Dy3 = diff(y,3)

plot(x,y,'B');hold on

plot(Dy,'Y');plot(Dy2,'G');plot(Dy3,'R');

title('sinx的1到3阶差分')

xlabel('x');ylabel('y')

可得到结果如下

图形如下:

注:二维图形常用设置选项

例：求函数的数值微分，并画出函数图比较

x = 0:0.01:2 %数值微分&积分需要先确定数值的范围，这一点与符号微分&积分有所不同。f = x.^2.*cos(x)./(3*x+2)Df = diff(f)plot(x,f,'r')hold ony = x(1:200);plot(y,Df,'b')legend('函数图','微分图')

可得到如图所示图线

数值积分

求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生（Simpson）法、牛顿-科特斯（Newton-Cotes）法等都是经常采用的方法。他们的基本思想都是将整个积分区间[a，b]分成n个子区间[xi，xi+1],i = 1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就变成了求和问题。

1、变步长辛普森法

基于变步长辛普森法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。

函数：quad

功能：求取基于变步长辛普森法的数值定积分。

语法：[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)

说明：fname是被积函数名（需要新建一个函数）。a和b分别是定积分的上限和下限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol = 10-6,。trace控制是否展现积分过程，取非0为展现积分过程，取0则不展现，缺省时trace = 0.返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。

例：用变步长辛普森法计算函数f（x）=e-0.2xsin（x+π/3）在区间[0.3π]的定积分

首先建立被积函数文件fesin.m

function f = fesin(x)f = exp(-0.2*x).*sin(x+pi/3);

然后调用数值积分函数quad来求定积分

[S,n] = quad('f',0,3*pi)

2、牛顿-科斯特法