显然这个函数是单词differential(微分)的简写，用于计算微分。实际上准确来说计算的是差商。
如果输入一个长度为n的一维向量，则该函数将会返回长度为n-1的向量，向量的值是原向量相邻元素的差，于是可以计算一阶导数的有限差分近似。
(1)符号微分
1.常用的微分函数
函数:diff(f) 求表达式f对默认自变量的一次微分值
diff(f,x) 求表达式f对自变量x的一次积分值
diff(f,n) 求表达式f对默认自变量的n次微分值
diff(f,t,n)求表达式f对自变量t的n次微分值
>> x=1:10
x =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
>> diff(x)
ans =
1 1 1 1 1 1 1 1 1
例1:求矩阵中各元素的导数
求矩阵[1/(1+a) (b+x)/cos(x)
1/(x*y) exp(x^2)]
对x的微分,可以输入以下命令
A = sym('[1/(1+a),(b+x)/cos(x);1,exp(x^2)]');
B = diff(A,'x')
可得到如下结果:
例2:求偏导数
求
的偏导数。
syms x y;
f = x*exp(y)/y^2;
fdx = diff(f,x)
fdy = diff(f,y)
可得到如下结果：
例3:求复合函数的导数
求
的导数
sym('x');
y = 'x*f(x^2)'
y1 = diff(y,'x')
得到结果如下：
例4:求参数方程的导数
对参数方程
求导
syms a b t
f1 = a*cos(t);
f2 = b*sin(t);
A = diff(f2)/diff(f1) %此处代入了参数方程的求导公式
B = diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/diff(f1)^3 %求二阶导数
可得到如下结果：
例5:求隐函数的导数
求
的一阶导数
syms x y
p = 'x*y(x)-exp(x+y(x))'
%隐函数可进行整体表示
%注意y(x)这种写法，它代表了y是关于x的函数
p1 = diff(p,x)
可得到如下结果：
2.符号积分
1符号函数的不定积分
函数:int
功能:求取函数的不定积分
语法:
int(f)
int(f,x)
说明:第一个是求函数f对默认自变量的积分值;第二个是求自变量f对对自变量t的不定积分值。
例：分别求函数f(x)=(3-x2)3、
的不定积分。
x = sym('x');
%函数的输入
f1 = (3-x^2)^3;
f2 = sqrt(x^3 + x^4);
%对函数进行积分
intf1 = int(f1)
intf2 = int(f2)
可得结果如下：
2符号函数的定积分
函数:int
功能:求取函数的定积分
语法:
int(f,a,b)
int(f,x,a,b)
说明:第一个是求表达式f对默认自变量的定积分值，积分区间为
[a,b];第二个是求表达式f对自变量x的定积分值，积分区间为[a，b]。
例：分别求
、
、
、
的定积分。
syms x t
%输入函数方程式
f1 = abs(1-x);
f2 = 1/(1+x^2);
f3 = 4*t*x;
f4 = x^3/(x-1)^100;
%求取函数积分
intf1 = int(f1,1,2)
intf2 = int(f2,-inf,+inf)
intf3 = int(f3,2,sin(t))
intf4 = int(f4,2,3)
可得到如下结果：
(2)数值微分
在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff。
函数:diff
功能:求取数值微分
语法:
DX = diff(X)
DX = diff(X,n)
DX = diff(X,n,dim)
说明:第一个计算向量X的向前差分，即DX(i) = X(i+1)-X(i),i=1,2,...,n-1。第二个是计算X的n阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。第三个计算矩阵A的n阶差分，当dim=1或缺省状态时，按行计算差分；dim=2，按列计算差分。
例：设x由[0,2π]间均匀分布的10个点组成，求sinx的1到3阶差分。
x = linspace(0,2*pi,10);
y = sin(x);
Dy = diff(y)
Dy2 = diff(y,2)
Dy3 = diff(y,3)
plot(x,y,'B');hold on
plot(Dy,'Y');plot(Dy2,'G');plot(Dy3,'R');
title('sinx的1到3阶差分')
xlabel('x');ylabel('y')
可得到结果如下
图形如下:
注:二维图形常用设置选项
例：求函数
的数值微分，并画出函数图比较
x = 0:0.01:2 %数值微分&积分需要先确定数值的范围，这一点与符号微分&积分有所不同。
f = x.^2.*cos(x)./(3*x+2)
Df = diff(f)
plot(x,f,'r')
hold on
y = x(1:200);
plot(y,Df,'b')
legend('函数图','微分图')
可得到如图所示图线
数值积分
求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿-科特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。他们的基本思想都是将整个积分区间[a，b]分成n个子区间[xi，xi+1],i = 1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就变成了求和问题。
1、变步长辛普森法
基于变步长辛普森法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。
函数：quad
功能：求取基于变步长辛普森法的数值定积分。
语法：[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)
说明：fname是被积函数名(需要新建一个函数)。a和b分别是定积分的上限和下限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol = 10-6,。trace控制是否展现积分过程，取非0为展现积分过程，取0则不展现，缺省时trace = 0.返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。
例：用变步长辛普森法计算函数f(x)=e-0.2xsin(x+π/3)在区间[0.3π]的定积分
首先建立被积函数文件fesin.m
function f = fesin(x)
f = exp(-0.2*x).*sin(x+pi/3);
然后调用数值积分函数quad来求定积分
[S,n] = quad('f',0,3*pi)
2、牛顿-科斯特法
在MATLAB中，使用Newton-Cotes来求取定积分函数为quadl。
函数：quadl
功能：基于Newton-Cotes法来求数值定积分
语法：[I,n] = quadl('fname',a,b,lol,trace)
说明：参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证以更高的效率求出所需的定积分值。
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