失眠网 > 统计学名词解释 —— 6. 三大抽样分布（卡方分布 t分布 F分布）

统计学名词解释 —— 6. 三大抽样分布（卡方分布 t分布 F分布）

时间：2021-02-07 05:55:23

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x2x^2x2 分布基本概念函数密度图像基本性质例题ttt 分布基本概念函数密度图像例题FFF 分布基本概念函数密度图像例题

从经验可知，大部分的样本分布服从或近似服从「正态分布」。现在我们要看看和正态分布有所异同，也是非常常见的三大分布都是什么样的。

x2x^2x2 分布

Y∼X2(n)Y \sim X^2(n)Y∼X2(n) 分布又称卡方分布，它的定义如下：

基本概念

设 X1,X2,⋯,XnX_1, X_2, \cdots, X_nX1,X2,⋯,Xn 来自正态分布总体 N(0,1)N(0, 1)N(0,1) 的样本，则称统计量
Y=X12+X22+⋯Xn2Y = X_1^2 + X_2^2 + \cdots X_n^2 Y=X12+X22+⋯Xn2
服从自由度为 nnn 的 X2X^2X2 分布，记为 Y∼X2(n)Y \sim X^2(n)Y∼X2(n)，X2(n)X^2(n)X2(n) 分布的概率密度函数为：
f(y)={12n/2Γ(n/2)yn/2−1e−y/2y>00otherwisef(y) = \left \{ \begin{matrix} \frac{1}{2^{n/2} \Gamma (n / 2)} y^{n/2-1} e^{-y / 2} & y > 0 \\ 0 & otherwise \end{matrix} \right . f(y)={2n/2Γ(n/2)1yn/2−1e−y/20y>0otherwise

函数密度图像

这张图主要说明，随着样本数增加，卡方分布的概率密度图像逐渐从类似 logloglog 的对数图像逐渐接近柏松分布。使得「概率密度图像（PDF）」呈现出和「泊松等待」相类似的特征。
由于组成卡方分布的每个样本 XXX 来自标准正态分布，所以每个独立样本的期望 E(X)=0E(X) = 0E(X)=0，方差 D(X)=1D(X) = 1D(X)=1。

基本性质

对于 X2X^2X2 分布来说它有两个性质

其一：

当 X2X^2X2 分布的期望 E(Y)=nE(Y) = nE(Y)=n时，它的方差 D(Y)=2nD(Y) = 2nD(Y)=2n

其二：

X2X^2X2 分布具有可加性。
比如，有 X∼Y2(m)X \sim Y^2(m)X∼Y2(m) 和 Y∼Y2(n)Y \sim Y^2(n)Y∼Y2(n)，且 X 和 Y 相互独立，有 X+Y∼X2(m+n)X+Y \sim X^2(m+n)X+Y∼X2(m+n)

例题

设 (X1,X2,⋯,X6)(X_1, X_2, \cdots, X_6)(X1,X2,⋯,X6) 为取自标准正态总体 N(0,1)N(0, 1)N(0,1) 的一个样本，求下列三个统计量的分布
（1） X12+X22X_1^2 + X_2^2X12+X22
（2）X12X_1^2X12
（3）X12+a(X2+X3)2+b(X4+X5+X6)2X_1^2 + a(X_2 + X_3)^2 + b(X_4 + X_5 + X_6)^2X12+a(X2+X3)2+b(X4+X5+X6)2

解（1）：

由样本定义可知，X1,X2,⋯X6X_1, X_2, \cdots X_6X1,X2,⋯X6 彼此相互独立，且服从 N(0,1)N(0,1)N(0,1)，所以 X12+X22∼X2(2)X_1^2 + X_2^2 \sim X^2(2)X12+X22∼X2(2)

解（2）：

由样本定义可知，X1,X2,⋯X6X_1, X_2, \cdots X_6X1,X2,⋯X6 彼此相互独立，且服从 N(0,1)N(0,1)N(0,1)，因此对于单个元素它的卡方分布为 X12∼X2(1)X_1^2 \sim X^2(1)X12∼X2(1)

解（3）：

从卡方分布的定义出发，我们令

Y1=X12Y2=a(X2+X3)2Y3=b(X4+X5+X6)2Y_1 = X_1^2 \\ Y_2 = a(X_2 + X_3)^2 \\ Y_3 = b(X_4 + X_5 + X_6)^2Y1=X12Y2=a(X2+X3)2Y3=b(X4+X5+X6)2

对于 Y1=X12Y_1 = X_1^2Y1=X12来说，由于元素来自标准正态总体，所以 Y1Y_1Y1 的期望 E(Y1)=0E(Y_1) = 0E(Y1)=0，方差 D(Y1)=1D(Y_1) = 1D(Y1)=1，所以 Y1∼N(0,1)Y_1 \sim N(0, 1)Y1∼N(0,1)

对于 Y2=a(X2+X3)2Y_2 = a(X_2 + X_3)^2Y2=a(X2+X3)2 来说，它有两个离散的样本，在《概率论基础 —— 8.数学期望、方差、协方差》一节中，我们可以知道由样本 (X2,X3)(X_2, X_3)(X2,X3) 组成的离散集合，我们可以通过离散型期望、方差的计算方法得到 E(X2,X3)=E(X2)+E(X3)=0E(X_2, X_3) = E(X_2) + E(X_3) = 0E(X2,X3)=E(X2)+E(X3)=0，其方差 D(X2,X3)=D(X2)+D(X3)=2D(X_2, X_3) = D(X_2) +D(X_3) = 2D(X2,X3)=D(X2)+D(X3)=2，于是有 (X2+X3)∼N(0,2)(X_2 + X_3) \sim N(0, 2)(X2+X3)∼N(0,2) ，我们对正太分布进行标准化，代入如下公式：

X−μσ=X−02=X2\frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 0}{\sqrt{2}} = \frac{X}{\sqrt 2} σX−μ=2X−0=2X

于是我们得到标准正态分布 X2+X32∼N(0,1)\frac{X_2 + X_3}{\sqrt 2} \sim N(0, 1)2X2+X3∼N(0,1)

同理，对于 Y3=b(X4+X5+X6)2Y_3 = b(X_4 + X_5 + X_6)^2Y3=b(X4+X5+X6)2，它的样本集合 (X4,X5,X6)(X_4, X_5, X_6)(X4,X5,X6) 的期望为0，方差为3，其标准正态分布为 X4+X5+X63\frac{X_4 + X_5 + X_6}{\sqrt 3}3X4+X5+X6

再从卡方分布的基本概念出发，拼凑出它应该为

X2=X12+(X2+X32)2+(X4+X5+X63)2=X12+(X2+X3)22+(X4+X5+X6)23X^2 = X_1^2 + \left (\frac{X_2 + X_3}{\sqrt 2} \right )^2 + \left ( \frac{X_4 + X_5 + X_6}{\sqrt 3} \right )^2 = X_1^2 + \frac{(X_2 + X_3)^2}{2} + \frac{(X_4 + X_5 + X_6)^2}{3} X2=X12+(2X2+X3)2+(3X4+X5+X6)2=X12+2(X2+X3)2+3(X4+X5+X6)2

所以，a=12a=\frac{1}{2}a=21， b=13b = \frac{1}{3}b=31

ttt 分布

基本概念

设 X∼N(0,1)X \sim N(0, 1)X∼N(0,1)，Y∼X2(n)Y \sim X^2(n)Y∼X2(n)，且 X, Y 相互独立，则称随机变量
t=XY/nt = \frac{X}{\sqrt{Y / n}} t=Y/nX
服从自由度为 nnn 的 ttt 分布，记为 t∼t(n)t \sim t(n)t∼t(n)。t(n)t(n)t(n) 分布的概率密度函数函数为：
h(t)=Γ[(n+1)/2]πnΓ(n/2)(1+t2n)−(n+1)/2,−∞<t<∞h(t) = \frac{\Gamma [(n+1) / 2]}{\sqrt{\pi n} \Gamma(n / 2)} (1 + \frac{t^2}{n})^{-(n+1) / 2}, -\infty < t < \infty h(t)=πnΓ(n/2)Γ[(n+1)/2](1+nt2)−(n+1)/2,−∞<t<∞

函数密度图像

例题

假设总体 X∼N(0,32)X \sim N(0, 3^2)X∼N(0,32)，X1,X2,⋯XnX_1, X_2, \cdots X_nX1,X2,⋯Xn 是来自总体X的简单随机样本，则统计量
Y=X1+X2+X3+X4X52+X62+X72+X82Y = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{\sqrt{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2}}Y=X52+X62+X72+X82X1+X2+X3+X4 服从自由度为____ 的 __________ 分布。

解：

我们从t分布的基本定义入手

t=XY/nt = \frac{X}{\sqrt{Y / n}} t=Y/nX
注意对于t分布的要求，其中的元素必须服从 X∼N(0,1)X \sim N(0, 1)X∼N(0,1)，分母的Y是卡方分布，Y∼X2(n)Y \sim X^2(n)Y∼X2(n)。

所以令 Z=X1+X2+X3+X4∼N(0,36)Z=X_1 + X_2 + X_3 + X_4 \sim N(0, 36)Z=X1+X2+X3+X4∼N(0,36)，我们可以标准化这个分布后得到 Z6∼N(0,1)\frac{Z}{6} \sim N(0, 1)6Z∼N(0,1)。

分母虽然看起来很像卡方分布，但是由于假设的总体 X∼N(0,32)X \sim N(0, 3^2)X∼N(0,32)，所以我们要先对它进行标准化后，可以得到 Xi3∼N(0,1)\frac{X_i}{3} \sim N(0, 1)3Xi∼N(0,1)，然后凑出一个卡方分布得到

Y′=(X53)2+(X63)2+(X73)2+(X83)2=X52+X62+X72+X829∼X2(4)Y' = \left ( \frac{X_5}{3} \right )^2 + \left ( \frac{X_6}{3} \right )^2 + \left ( \frac{X_7}{3} \right )^2 + \left ( \frac{X_8}{3} \right )^2 = \frac{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2}{9} \sim X^2(4) Y′=(3X5)2+(3X6)2+(3X7)2+(3X8)2=9X52+X62+X72+X82∼X2(4)

然后分别把得到的 ZZZ 和 Y′Y'Y′ 代入 ttt 分布公式中，于是得到

t=X/6Y′/4=16X1+X2+X3+X4X52+X62+X72+X829×4=X1+X2+X3+X4X52+X62+X72+X82∼t(4)t = \frac{X / 6}{\sqrt{Y' / 4}} = \frac{1}{6} \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{\sqrt{ \frac{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2}{9 \times 4}}} = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{\sqrt{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2}} \sim t(4) t=Y′/4X/6=619×4X52+X62+X72+X82X1+X2+X3+X4=X52+X62+X72+X82X1+X2+X3+X4∼t(4)

所以它是自由度为4的t分布。

FFF 分布

基本概念

设 U∼X2(n1)U \sim X^2(n_1)U∼X2(n1)，V∼X2(n2)V \sim X^2(n_2)V∼X2(n2)，且 UUU，VVV 相互独立，则称随机变量
F=U/n1V/n2F = \frac{U / n_1}{V / n_2} F=V/n2U/n1
服从自由度为 (n1,n2)(n_1, n_2)(n1,n2) 的 FFF 分布，记为 F∼F(n1,n2)F \sim F(n_1, n_2)F∼F(n1,n2)。F(n1,n2)F(n_1, n_2)F(n1,n2) 分布的概率密度函数为：
φ(y)={Γ[(n1+n2)/2](n1/n2)n1/2y(n1/2)−11y>00otherwise\varphi (y) = \left \{ \begin{matrix} \frac{\Gamma [(n_1 + n_2) / 2] (n_1 / n_2)^{n_1 / 2} y^{(n_1 / 2) - 1}}{1} & y > 0 \\ 0 & otherwise \end{matrix} \right . φ(y)={1Γ[(n1+n2)/2](n1/n2)n1/2y(n1/2)−10y>0otherwise