写在前面

分析、求解一道典型的级数求和题。

问题

应用幂级数性质求下面级数的和

∑n=0∞(−1)n3n+1.\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}. n=0∑∞​3n+1(−1)n​.

分析与求解

既然要采用幂级数的性质，就需要将上式构造成幂级数的形式，即有

S(x)=∑n=0∞(−1)n3n+1x3n+1,S(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}x^{3n+1}, S(x)=n=0∑∞​3n+1(−1)n​x3n+1,

则只需求出此幂级数的和函数, 即可得到原级数的和. 下面具体分析:

首先对S(x)S(x)S(x)应用逐项求导, 得到

S′(x)=∑n=0∞(−1)nx3n=11+x3=1(1+x)(1−x+x2),S^\prime(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{3n}=\frac1{1+x^3}=\frac1{(1+x)(1-x+x^2)}, S′(x)=n=0∑∞​(−1)nx3n=1+x31​=(1+x)(1−x+x2)1​,

对上式积分，应用有理分式积分的方法，即将分式拆分成易于求积分的几个部分，如下

11+x3=1(1+x)(1−x+x2)=13⋅11+x−13⋅x−2(x−12)2+34=13⋅11+x−13⋅x−12(x−12)2+34+12⋅1(x−12)2+(32)2\begin{aligned} \frac1{1+x^3}&=\frac1{(1+x)(1-x+x^2)}\\ &=\frac13\cdot\frac{1}{1+x}-\frac13\cdot\frac{x-2}{(x-\frac12)^2+\frac34}\\ &=\frac13\cdot\frac{1}{1+x}-\frac13\cdot\frac{x-\frac12}{(x-\frac12)^2+\frac34}+\frac12\cdot\frac{1}{(x-\frac12)^2+\left(\frac{\sqrt3}2\right)^2} \end{aligned} 1+x31​​=(1+x)(1−x+x2)1​=31​⋅1+x1​−31​⋅(x−21​)2+43​x−2​=31​⋅1+x1​−31​⋅(x−21​)2+43​x−21​​+21​⋅(x−21​)2+(23​​)21​​

所以

S(x)=∫0x11+t3dt=13∫0x11+tdt−13∫0xt−12(t−12)2+34dt+12∫0x1(t−12)2+(32)2dt=13ln⁡(1+x)−16ln⁡(x2−x+1)+33arctan⁡(2x−13)+33arctan⁡33\begin{aligned} S(x) &=\int\nolimits_{0}^{x}\frac1{1+t^3}\,\mathrm{d}t\\ &=\frac13\int\nolimits_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\mathrm{d}t-\frac13\int\nolimits_{0}^{x}\frac{t-\frac12}{\left(t-\frac12\right)^2+\frac34}\mathrm{d}t\\ &+\frac12\int\nolimits_{0}^{x}\frac{1}{(t-\frac12)^2+\left(\frac{\sqrt3}2\right)^2}\mathrm{d}t \\ &=\frac13\ln(1+x)-\frac16\ln\left(x^2-x+1\right)\\ &+\frac{\sqrt3}3\arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt3}\right)+\frac{\sqrt3} 3\arctan\frac{\sqrt3}3\\ \end{aligned} S(x)​=∫0x​1+t31​dt=31​∫0x​1+t1​dt−31​∫0x​(t−21​)2+43​t−21​​dt+21​∫0x​(t−21​)2+(23​​)21​dt=31​ln(1+x)−61​ln(x2−x+1)+33​​arctan(3​2x−1​)+33​​arctan33​​​

所以原级数的和为S(1)=13ln⁡2+π33S(1)=\frac13\ln2+\frac{\pi}{3\sqrt3}S(1)=31​ln2+33​π​.

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