一道三角函数相关级数求和问题
@(微积分)
设an=∫nπ0x|sinx|dx,n=1,2,3,...,试求∑∞n=1an2n
分析:这种题乍看起来束手无策。主要障碍卡在了对积分的处理上。
首先要明确,如果一个积分不可直接求解,那么是否可想一想间接变通求解?
比如,这里,是否可利用周期性化简函数?
方向选对了,才有进一步写下去的必要,否则很可能是无用功。
令x=nπ−t,→dx=−dt
an=−∫0nπ(nπ−t)|sint|dt=nπ∫nπ0|sinx|dx−∫nπ0x|sinx|dx=nπ∫nπ0|sinx|dx−an→an=nπ2∫nπ0|sinx|dx
注意到,∫nπ0|sinx|dx=n∫π0sinxdx=2nπ
因此:an=n2π,n=1,2,...
这是很不容易想到的,如果不会选择这样的方法的话。
由待求解的
∑n=1∞an2n=∑n=1∞n2π2n=π∑n=1∞n22n
可以抽象出:S(x)=∑∞n=1n2xn
按照吸收系数的原则进行求解。
显然,
S(x)=∑n=1∞n2xn=x∑n=1∞n⋅nxn−1=x∑n=1∞n(xn)′=x∑n=1∞(nxn)′=x(∑n=1∞nxn)′=x(x∑n=1∞nxn−1)′=x(x∑n=1∞(xn)′)′=x(x(∑n=1∞xn)′)′=x(x(11−x−1)′)′=x(x(1−x)2)′=(1+x)x(1−x)3,−1<x<1
注意:求和符号是与n相关的,因此可以自由放置,这里紧跟n,可以简化问题。
令x=12,得到:
∑∞n=1an2n=πS(12)=6π.
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