二分查找也称折半查找（Binary Search），它是一种效率较高的查找方法。但是，折半查找要求线性表必须采用顺序存储结构，而且表中元素按关键字有序排列。二分查找法的时间复杂度是对数级别的，O(log2n)
public int binarySearch(int [] array, double key) {int l = 0;int r = array.length - 1;while (l <= r) {int m = (l + r)/ 2;if (key == array[m])return m;else if (key < array[m])r = m - 1;elsel = m + 1;}return l;
}
如果key在array中，返回的是key在array中的位置，如果不在array中，返回的是key应该插入的位置也就是第一个大于key的位置。这里和java.util.Arrays类返回值-(low + 1)不太一样，个人觉得我这种写法做某些算法题更方便。
1.Sqrt(x)
实现int sqrt(int x)函数。计算并返回x的平方根。x保证是一个非负整数。
分析：
这道题有两种解法，二分法和拟牛顿法
二分法
class Solution(object):def mySqrt(self, x):""":type x: int:rtype: int"""l = 0r = x // 2 + 1while l <= r:m = (l + r) // 2if m ** 2 <= x and (m + 1) ** 2 > x:return melif m ** 2 > x:r = m - 1else:l = m + 1
牛顿法
class Solution:def mySqrt(self, x):""":type x: int:rtype: int"""r = xwhile r*r > x:r = (r + x//r) // 2return r
2.Search in Rotated Sorted ArrayI 、II
假设按照升序排序的数组在预先未知的某个关键点上旋转。
（即0 1 2 4 5 6 7将变成4 5 6 7 0 1 2）。
给你一个目标值来搜索，如果数组中存在这个数则返回它的索引，否则返回 -1。
你可以假设数组中不存在重复。
分析：
这是二分查找的一道变形题，因为rotate的缘故，当我们切取一半的时候可能会出现误区，所以我们要做进一步的判断。具体来说，假设数组是A，每次左边缘为l，右边缘为r，还有中间位置是m。在每次迭代中，分三种情况： （1）如果target==A[m]，那么m就是我们要的结果，直接返回； （2）如果A[m]<A[r]，那么说明从m到r一定是有序的（没有受到rotate的影响），那么我们只需要判断target是不是在m到r之间，如果是则把左边缘移到m+1，否则就target在另一半，即把右边缘移到m-1。 （3）如果A[m]>=A[r]，那么说明从l到m一定是有序的，同样只需要判断target是否在这个范围内，相应的移动边缘即可。
class Solution(object):def search(self, nums, target):""":type nums: List[int]:type target: int:rtype: int"""l = 0r = len(nums) - 1while l <= r:m = (l + r) // 2if nums[m] == target:return mif nums[m] < nums[r]:if target > nums[m] and target <= nums[r]:l = m + 1else:r = m - 1else:if target < nums[m] and target >= nums[l]:r = m - 1else:l = m + 1return -1
follow up:
如果数组元素允许重复，怎么办？
这会影响到程序的时间复杂度吗？会有怎样的影响，为什么？
分析：
和Search in Rotated Sorted Array唯一的区别是这道题目中元素会有重复的情况出现。不过正是因为这个条件的出现，出现了比较复杂的case，甚至影响到了算法的时间复杂度。原来我们是依靠中间和边缘元素的大小关系，来判断哪一半是不受rotate影响，仍然有序的。而现在因为重复的出现，如果我们遇到中间和边缘相等的情况，我们就丢失了哪边有序的信息，因为哪边都有可能是有序的结果。假设原数组是{1,2,3,3,3,3,3}，那么旋转之后有可能是{3,3,3,3,3,1,2}，或者{3,1,2,3,3,3,3}，这样的我们判断左边缘和中心的时候都是3，如果我们要寻找1或者2，我们并不知道应该跳向哪一半。解决的办法只能是对边缘移动一步，直到边缘和中间不在相等或者相遇，这就导致了会有不能切去一半的可能。所以最坏情况（比如全部都是一个元素，或者只有一个元素不同于其他元素，而他就在最后一个）就会出现每次移动一步，总共是n步，算法的时间复杂度变成O(n)。代码如下：
class Solution:def search(self, nums, target):""":type nums: List[int]:type target: int:rtype: int"""if not nums:return Falsel = 0r = len(nums) - 1while l <= r:m = (l + r) // 2if nums[m] == target:return Trueif nums[m] < nums[r]:if target > nums[m] and target <= nums[r]:l = m + 1else:r = m - 1elif nums[m] > nums[r]:if target < nums[m] and target >= nums[l]:r = m -1else:l = m + 1else:r -= 1return False
3.Find Minimum in Rotated Sorted ArrayI 、II
假设一个按照升序排列的有序数组从某未知的位置旋转。
（比如0 1 2 4 5 6 7可能变成4 5 6 7 0 1 2）。
找到其中最小的元素。
你可以假设数组中不存在重复的元素。
分析：
二分法O(log2n)：
如果num[m] < num[r]，说明pivot也就是最小的元素在m左边，极端情况有可能num[m]就是pivot，所以r = m 而不是 r= m -1，如果num[m] > num[r]，则pivot在m的右边，所以l = m + 1
class Solution(object):def findMin(self, nums):""":type nums: List[int]:rtype: int"""l = 0r = len(nums) - 1while l < r:m = (l + r) // 2if nums[m] < nums[r]:r = melse:l = m + 1return nums[l]
线性扫描O(n):
class Solution(object):def findMin(self, nums):""":type nums: List[int]:rtype: int"""for i in range(len(nums) - 1):if nums[i] > nums[i + 1]:return nums[i + 1]return nums[0]
follow up:
数组中存在重复元素，处理方法与上一道题Search in Rotated Sorted Array一样，对边缘移动一步，直到边缘和中间不在相等或者相遇，这就导致了会有不能切去一半的可能。所以最坏情况（比如全部都是一个元素，或者只有一个元素不同于其他元素，而他就在最后一个）就会出现每次移动一步，总共是n步，算法的时间复杂度变成O(n)
class Solution(object):def findMin(self, nums):""":type nums: List[int]:rtype: int"""l = 0 r = len(nums) - 1while l < r:m = (l + r) // 2if nums[m] < nums[r]:r = melif nums[m] > nums[r]:l = m + 1else:r -= 1return nums[l]
4.Find Peak Element
峰值元素是指其值大于左右相邻值的元素。
给定一个输入数组，其中num[i] ≠ num[i+1]，找到峰值元素并返回其索引。
数组可能包含多个峰值，在这种情况下，返回到任何一个峰值所在位置都可以。
你可以想象得到num[-1] = num[n] = -∞。
例如，在数组[1, 2, 3, 1]中 3 是峰值元素您的函数应该返回索引号2。
你的解决方案应该是对数复杂度的。
分析：
这道题与Find Minimum in Rotated Sorted Array很像，依然可以用二分法或者线性扫描两种方法解决。
二分法O(log2n)：
如果nums[m] > nums[m+1]，则说明m的左侧肯定存在峰值，因为如果nums[m-1] < nums[m]，则说明m是峰值元素，如果说nums[m -1] > nums[m]，则m -1的左侧还存在峰值，如果一直到m = 0的话，那0这个位置的元素就是峰值。
class Solution(object):def findPeakElement(self, nums):""":type nums: List[int]:rtype: int"""l = 0r = len(nums) - 1while l < r:m = (l + r) // 2if nums[m] < nums[m + 1]:l = m + 1else:r = mreturn l
线性扫描O(n):
如果当前元素m比前一元素m-1大的话，则继续向后搜索，如果小的话，说明前一元素m-1即为峰值，因为m-1之前的都比m-1小。
class Solution(object):def findPeakElement(self, nums):""":type nums: List[int]:rtype: int"""for i in range(1,len(nums)):if nums[i] < nums[i - 1]:return i - 1return len(nums) - 1
参考链接：
/linhuanmars/article/details/20588511
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