#月考#初中数学中，几何是很重要的一部分。而在几何证明中，做辅助线构造相应的图形则是很重要的方法。那么今天在这里呢，分享通过平移构造辅助线来解决几何问题。
01
例题
问题呈现
如图13-1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C,DN和EC相交于点P,求 tan∠CPN 的值.
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点
M、N.可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN,连接DM,那么∠CPN就变换到Rt△DMN中.
问题解决
⑴直接写出图13-1中tan∠CPN的值为____；
⑵如图13-2,在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P,求cos∠CPN的值；
思维拓展
(3)如图 13-3,AB⊥BC,AB=4BC,点M在AB上，且 AM = BC,延长 CB 到 N,使BN=2BC,连接AN交CM的延长线于点P,用上述方法构造网格求∠CPN的度数.
02
例题剖析
（1）连接格点M、N ，可得MN//EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM,那么∠CPN就变换到Rt△DMN中，由此便可写出tan∠CPN的值.
（2）在图13-2中，取格点D,连接CD、DM.那么∠CPN就变换到等腰Rt△DMC中.
（3）利用网格，构造等腰直角三角形解决问题即可.
03
例题详解
解：（1）由图 13-1 可知 EC∥MN,故∠CPN = ∠DNM,即 tan∠CPN=tan∠DNM.
因为 ∠DMN = 90°,
所以 tan∠CPN=tan∠DNM=DM/MN=2
（2）取格点D,连接CD、DM,如图13-4.
因为 CD∥AN,所以，∠CPN=∠DCM.
因为△DCM是等腰直角三角形，所以∠DCM=∠CDM=45°.
因此，cos ∠CPN = cos∠DCM=二分之根号2.
(3)如图13-5,取格点M,连接AM、MN.
因为 PC//MN,故有∠CPN=∠ANM.
因为 AM=MN ,∠AMN = 90°，
所以 ∠ANM=∠MAN=45°,即∠CPN=45°.
04
知识归纳
证明平面几何问题的困难很多,其中有关元素较分散是一个重要原因.要解决这一难点，可以通过图形变换来添加辅助线，改变这些元素所呈现的位置关系，从而解决问题.这其中，平移是一种很重要的方法.
平移的主要功能就是把分散的线段、角相对集中起来,从而使得已知条件集中在一个基本图形中；或者，经过平移产生新的图形.而使问题得以转化解决.
平移是变换手段，变换的结果则要过特定点作平行辅助线得以呈现.平移后还需要一个工作，就是连接平移线段的另一端点和其他一些关键点，将平移后的图形放入一个封闭的图形中（常见的是三角形或平行四边形），再进一步分析.
有时将平移中的对应点连接，则可以得到一些平行四边形，这些平行四边形是连接原图形和平移后图形的纽带，可以带助进行边和角的转移.同时，基于平行，可出现相似图形，有助于边的数量关系的确定.
一些常见的平移方法如图13- 7所示.
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