问题补充:
解答题设函数.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(Ⅱ)若,求函数f(x)的最大值和最小值;
(Ⅲ)若把函数f(x)的图象按向量a平移后所得函数为奇函数,求使得|a|最小的a.
答案:
(本小题13分)
解:∵f(x)=sin2x+sinxcosx+1
=+sin2x+1
=sin2x-cos2x+…(2分)
(Ⅰ)函数f(x)的最小正周期
T==π…(3分)
令2kπ-≤2x-≤2kπ+?kπ-≤x≤kπ+,
即函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).…(5分)
(Ⅱ)∵x∈[0,],
∴2x-∈[-,],
∴sin(2x-)∈[-,1],
所以函数f(x)的最小值为1,最大值为…(9分)
(Ⅲ)令2x-=kπ,x=+(k∈Z),
即函数图象对称中心为(+,)k=0时距原点最近,则满足条件的||=(-,-)…(13分)解析分析:(Ⅰ)利用三角函数中的恒等变换将f(x)=sin2x+sinxcosx+1化简为:f(x)=sin(2x-)+,利用正弦函数的性质即可求f(x)的最小正周期及单调递增区间;(Ⅱ)利用正弦函数的单调性质可求得f(x)的最大值和最小值;(Ⅲ)由前两问可知,2x-=kπ时,f(x)为奇函数,从而可求得其对称中心,继而可求得||最小时对应的向量.点评:本题考查三角函数中的恒等变换,考查正弦函数的最小正周期、单调区间、最值及对称中心,熟练掌握正弦函数的性质是解决问题的基础,属于中档题.
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