在OpenGL中需要定义一个视图(view)矩阵，很多库都提供一个叫LookAt的函数，可以定义该视图矩阵。
该函数的原型是
Mat4x4 LookAt(pos: vector3D, target: vector3D, up:vector3D)
直观的理解，就是pos为观察者当前的坐标，target朝向的点坐标，up为观察者上方方向。返回的就是一个视图矩阵。
其实所谓的视图矩阵，就是一个坐标系与坐标系之间的转换矩阵。视图矩阵将世界坐标系下的坐标转换到了视图坐标系下。
我们来推导一下三维坐标系转换的关系。
世界坐标系的三个坐标轴，定义为e1,e2,e3e_1,e_2,e_3e1,e2,e3(都是向量)， 视图坐标系下的三个坐标轴定义为E1,E2,E3E_1,E_2,E_3E1,E2,E3(都是向量)，视图坐标系的原点在世界坐标系下的坐标为vvv, E1,E2,E3E_1,E_2,E_3E1,E2,E3在世界坐标系下有
也即t11..t13t_{11}..t_{13}t11..t13为E1E_1E1在世界坐标系下的坐标。
对于任意一点P，在世界坐标系下和视图坐标系下的坐标分别表示
其中(x1,x2,x3)(x_1,x_2,x_3)(x1,x2,x3)为世界坐标系下坐标，(X1,X2,X3)(X_1,X_2,X_3)(X1,X2,X3)为视图坐标系下的坐标。联立两个方程，则有
这里对于任意e1,e2,e3e_1,e_2,e_3e1,e2,e3应该都成立，令
则有
注意旋转矩阵M为正交矩阵
因此最后
如果都写成齐次坐标的形式
视图矩阵就是
因此视图矩阵就是
最后理解一下视图矩阵中的元素意义。视图矩阵为4x4矩阵，其中左上角的3x3矩阵为一个旋转矩阵。旋转矩阵的每一行代表视图坐标的坐标轴在世界坐标系下的坐标。右上角的1x3矩阵，代表视图坐标原地在世界坐标系下坐标，但是乘了一个旋转矩阵还进行了取反。
有了坐标系之间转换关系的知识后，理解lookat就不难了。
lookat参数中的pos和target定义视图坐标系的z轴，z轴方向是pos-target，这是因为视图坐标系是右手坐标系，z轴方向指向观察者。x方向垂直于up方向和z轴方向，因此可以由up和z轴的叉积来定义。y方向由z轴和x轴的叉积来定义。
下面是我写的计算视图矩阵的LookAt的函数，大家可以跟glm库或者Qt库中lookat函数进行对比。
def lookat(pos: np.ndarray, target: np.ndarray, up: np.ndarray) -> np.ndarray:vecz = pos - targetvecz = vecz / np.sqrt(vecz.dot(vecz))vecx = np.cross(up, vecz)vecx = vecx / np.sqrt(vecx.dot(vecx))vecy = np.cross(vecz, vecx)rot_mat = np.r_[vecx.reshape((1, 3)), vecy.reshape((1, 3)), vecz.reshape((1, 3))]v = -rot_mat.dot(pos)rlt_mat = np.array([[rot_mat[0, 0], rot_mat[0, 1], rot_mat[0, 2], v[0]],[rot_mat[1, 0], rot_mat[1, 1], rot_mat[1, 2], v[1]],[rot_mat[2, 0], rot_mat[2, 1], rot_mat[2, 2], v[2]],[0, 0, 0, 1]])return rlt_mat
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