回溯法经典算法 求集合中所有的子集

今天我们来看一下子集的问题。

题目描述：给定一个任意集合A，集合的长度为Length，让你打印出这个集合中所包含的所有子集。

题目分析：此问题实际上也是一个遍历树的问题，进行遍历每一个子元素，再进入下层函数时候记录上层结果，加入到下层函数中，再存储起来。其实总结器来他就是一颗完全二叉树。以下我们结合图来具体的说一下：

我们以集合{1,2,3}来对此画树状图理解一下。图如下：

以此我们可以得到集合{1,2,3}中的子集有{}，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}；

以此我们就可以用递归算法对其进行代码操作。

具体的递归方法：对于一个含有n个元素的集合，我们要对其进行找子集，首先我们需要先定义一个数组，以此来存储对这N位的2进制数来表示这个集合，第i为如果为1则表示第i个元素在表示的这个集合中，否则则不再这个集合中。简单的来说就是首先我们先让这个数组的第一个元素为No，然后他会一直往下找，如果到递归结束时还是No，就将它打印出来，然后进行回溯到上一层。然后我们就把这个元素定位Yes，然后在进行在Yes条件下进行递归寻找，我们每次进行到递归结束的条件时，我们对其进行回溯。可能我说的还是有点理解不了，大家可以结合着上面的图来看代码：

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<assert.h>int arr[]={0};//存储当前第i个位置元素包含还是不包含void Ziji(char brr[],int k,int length)//k是递归的层次，k与集合的长度有关{assert(arr!=NULL); if(k==length)//递归结束的条件{printf("{ ");for(int i=0;i<length;i++){if(arr[i]==1){printf("%c ",brr[i]);}}printf("}");printf("\n"); }else{arr[k]=0;//集合中的第i个元素没有包含，也就是(No)Ziji(brr,k+1,length); //进行没有被包含(No)的递归arr[k]=1;//集合中的第i个元素被包含(Yes)Ziji(brr,k+1,length);//然后进行被包含下(Yes)的递归} }int main(){char str[]="ABC";int lenth=strlen(str);Ziji(str,0,lenth);return 0;}

综上所述呢，我们可以得到一个含有N个元素的集合，它的所有子集的个数为N！个。

大家现在结合着代码是不是理解了此算法的递归操作呢？

如果没理解我再给大家讲一下非递归的算法，我觉得这种办法挺好运的，这种办法就是用C++中的位运算符来进行操作的，上面我们可以得出一个含有N个元素的集合，它的所有子集的个数为N！个，于是我们对其进行移位操作。

如集合A={a,b,c},其子集个数为8；对于任意一个元素，在每个子集中，

要么存在，要么不存在，对应关系是：

a->1或a->0

b->1或b->0

c->1或c->0

映射为子集：

(a,b,c)

(1,1,1)->(a,b,c)

(1,1,0)->(a,b )

(1,0,1)->(a, c)

(1,0,0)->(a )

(0,1,1)->( b,c)

(0,1,0)->( b )

(0,0,1)->( c)

根据以上规律我们可以得出拿一个整形值与一个数进行&操作可以得到我们所需要的子集。进行再一步的观察我们可以看出这个数就是1，每次进行&之后，让这个数进行左移（<<)i位，这个i的初始为0，结束为N，所以我们就可以求出我们所需要的结果，具体代码如下：

#include<stdio.h>#include<assert.h>#include<string.h>int main(){char arr[]="ABC";int a=strlen(arr);int thm=1<<a;//含有N个元素的子集共有N！个for(int i=0;i<thm;i++){for(int j=0;j<a;j++)if(i&1<<j)//每次要对其进行左移操作，然后又i进行&{printf("%c",arr[j]);}printf("\n");}return 0;}

以上的内容就是我对一个集合中求子集问题的所有理解，希望它可以帮助大家。如有错误，请大家评论指正。

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