- 回顾
前面一直在讲述估计量的有效性（CRLB，线性模型），而没有提到假如估计量的方差没有达到CRLB，即是有效估计量不存在，但能够求出MVU估计量（假定存在）仍然是一个重要的事（可参考文章中的图片/GongPF/article/details/88715517）。因此，就提出了一般MVU估计。
- 主要使用的概念和方法
- 充分统计量（Sufficient statistic）
- RBLS定理（Rao-Blackwwell-Lehmann-Scheffe）
- 理解充分统计量
- 知乎：/question/41367707
- 一篇不知名的不知作者的文章描述：
-这里举个例子：, 估计参数，w[n]是WGN，则可求出样本均值是MVU估计量
假设，这里选择作为估计量，那么可以看出是无偏的，它的方差要比大。 直观的理解：较差的性能是由于放弃了数据而导致的直接结果，这些信息携带了有关要估计参数的信息。
这样就产生了这样的问题：哪些数据与估计问题（估计参数）有关？
- 对于上述关于估计问题，一旦知道了，就不需要单个的数据值，因为关于参数的所有的信息都已经包含在这个充分统计量中。详细解释如下：
考虑数据的PDF为（需要估计A）
假定已经观测到统计量T(x)
这个统计量的知识将把数据的PDF改变为条件PDF，即
由于统计量是估计参数A的充分统计量，这个条件PDF就应该与估计参数 A 无关。因此，要证明统计量是充分的，就必须确认对应的条件PDF，并且确定它与估计参数无关。如下图所示：
计算条件PDF是比较难的事，所有需要一种更为简单的方法，下面就讲解Neyman-Fisher分解原理——一种寻找充分统计量的简单方法。
-Neyman-Fisher分解
-Neyman-Fisher 因子分解：若能将PDF分解为
其中 g 只是通过 T(x) 才与 x 有关的函数；而 h 只是 x 的函数，那么T(x) 是的充分统计量。反之，如果T(x) 是的充分统计量，那么数据PDF可以分解为上式形式。
例如：考虑, 参数 ，w[n]~N(0,),但是参数为估计对象。假如数据PDF的N-F分解如下
可以很明显看出， 是的充分估计量。
- 联合充分统计量
- 定义：如果 m个统计量的条件PDF与无关，那么这 m 个统计量联合充分统计量。
- N-F分解：如果能够分解为
那么是的充分统计量。很显然，原始数据总是充分统计量。
因为令m = N， 所有恒有g=p(x;) h=1 。
- 利用充分统计量求MVU估计量（RBLS定理）
- 上面已经获取求的充分统计量T(x)，那么就可以利用RBLS定理来求MVU估计量。
- RBLS定理
如果是的无偏估计量，T(x) 是的充分统计量，那么 具有如下特性：
i）是的一个适用的估计量，即是与无关；
ii）是无偏的
iii）对于所有的来说，的方差要小于或等于的方差
iv）如果 T(x) 充分统计量是完备的，那么是MVU估计量
- 完备统计量（Completeness statistic）
定义1：a statistic that does not allow an unbiased estimator of zero.
定义2：从本质上来讲，如果只存在一个无偏统计量函数（统计量是样本的函数），那么该统计量就是完备的。
定义3：图来源：/view/e3a2df49daef5ef7bb0d3c2e.html
充分完备统计量性质：对于某个参数的估计，假定充分统计量T(x)完备的，则存在唯一的函数 g 满足 E[g(T(x))] =。
更多性质参考：/view/e3a2df49daef5ef7bb0d3c2e.html
总结完备性条件： 如果对于所有待估计参数，它的充分统计量 T 的任何一种构造函数 v(T) ,只对零函数即v(T)=0（对所有的T）满足下面条件
那么，就说充分统计量是完备的。
- 解题思路（针对不知道MVU估计量时的参数估计问题）
1、利用R-F因子分解来求一个 估计参数的充分统计量 T(x)。
2、确定充分统计量是否完备。如果是，继续往下处理；否者这个方法就不能使用。
3、求一个充分统计量的函数，以此来得到一个无偏估计量。那么，是MVU估计量。
步骤3 可亦采用另一种方法
3‘、计算,其中是任意的无偏估计量。（实际中，条件期望计算复杂，视情况选择方法）
如果觉得《估计——一般最小方差无偏估计》对你有帮助，请点赞、收藏，并留下你的观点哦！
