估计理论(1)：最小方差无偏估计(第2章）

本文为《Steven M. Kay, Fundamentals of Statistical Signal Processing:Estimation Theory》一书的第2章。

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1、无偏估计量2、最小方差准则3、最小方差无偏估计的存在性4、寻找最小方差无偏估计5、扩展到矢量参数

1、无偏估计量

对未知参数进行估计，得到估计量。而所谓无偏估计，是指估计量的均值，等于未知参数的真值，即对未知参数θ\thetaθ，有

E(θ^)=θ,a<θ<b，(2.1)\tag{2.1} {\rm E}( \hat \theta)=\theta,\quad a<\theta<b， E(θ^)=θ,a<θ<b，(2.1)那么估计量是无偏的。

真值是确定的，估计量却是随机的，每次估计得到一个样本。因此无偏估计就是，估计量的均值等于真值。

【例2.1】AWGN中DC电平的无偏估计。

考虑观测

x[n]=A+w[n]n=0,1,…,N−1x[n]=A+w[n]\quad n=0,1,\ldots,N-1 x[n]=A+w[n]n=0,1,…,N−1其中AAA是要估计的参数，w[n]w[n]w[n]是AWGN。参数AAA可以取−∞<A<∞-\infty<A<\infty−∞<A<∞上的任何值。那么，x[n]x[n]x[n]的一个合理估计是

A^=1N∑n=0N−1x[n],(2.2)\tag{2.2} \hat A=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x[n], A^=N1​n=0∑N−1​x[n],(2.2)即样本的均值。进一步，我们有

E(A^)=E[1N∑n=0N−1x[n]]=1N∑n=0N−1E(x[n])=A\begin{aligned} {\rm E}(\hat A)&={\rm E}\left[\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x[n]\right]\\ &=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}{\rm E}(x[n])\\ &=A \end{aligned} E(A^)​=E[N1​n=0∑N−1​x[n]]=N1​n=0∑N−1​E(x[n])=A​因此，用样本均值作为估计量，是无偏的。

 The restriction that E(θ^)=θ{\rm E}(\hat \theta)=\thetaE(θ^)=θ for all θ\thetaθ is an important one. Letting θ^=g(x)\hat \theta=g(\bf x)θ^=g(x), where x=[x[0],x[1],…,x[N−1]]T{\bf x}=\left[ x[0],x[1],\ldots,x[N-1]\right]^Tx=[x[0],x[1],…,x[N−1]]T, it asserts that

E(θ^)=∫g(x)p(x;θ)dx=θforallθ.(2.3)\tag{2.3} {\rm E}(\hat \theta)=\int g({\bf x})p({\bf x};\theta)d{\bf x}=\theta\quad {\rm for \ all\ \theta}. E(θ^)=∫g(x)p(x;θ)dx=θforallθ.(2.3)It is possible, however, that (2.3) may hold for some values of θ\thetaθ and not others, as the next example illustrate.

Example 2.2-Biased Estimator for DC Level in White Noise

Consider again Example 2.1 but with the modified sample mean estimator

Aˇ=12N∑n=0N−1x[n].\check{A}=\frac{1}{2N}\sum_{n=0}^{N-1}x[n]. Aˇ=2N1​n=0∑N−1​x[n].Then

E(Aˇ)=12A{=A,ifA=0≠A,ifA≠0.{\rm E}(\check{A})=\frac{1}{2}A\left\{\begin{aligned} =A,\ {\rm if}A=0\\ \ne A,\ {\rm if}A\ne 0. \end{aligned}\right. E(Aˇ)=21​A{=A,ifA=0​=A,ifA​=0.​It is seen that (2.3) holds for the modified estimator only for A=0A=0A=0. Clearly, Aˇ\check{A}Aˇ is a biased estimator.

估计量是无偏的并不一定意味着它是一个好的估计量。这只能够保证，从平均上看能够得到真实值。另一方面，有偏估计量意味着存在系统误差，而系统误差是不应该出现的。持续的偏差总会使得估计结果很差。例如，当几个估计量被混合时，无偏特性具有重要意义（见习题2.4）。有时可能可以得到同一个参数的多种估计，例如{θ^1,θ^2,…,θ^n}\{\hat \theta_1,\hat \theta_2,\ldots,\hat \theta_n\}{θ^1​,θ^2​,…,θ^n​}。合理的步骤是把这些估计合并，希望能够通过对他们进行平均来得到更好的估计，即

θ^=1n∑i=1nθ^i.(2.4)\tag{2.4} \hat \theta=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\hat \theta_i. θ^=n1​i=1∑n​θ^i​.(2.4)假定所有的估计器都是无偏的，方差相等，彼此不相关，因此有

E(θ^)=θ{\rm E}(\hat \theta)=\theta E(θ^)=θ以及

var(θ^)=1n2∑i=1nvar(θ^i)=var(θ^1)n\begin{aligned} {\rm var}(\hat \theta)&=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}{\rm var}(\hat \theta_i)\\ &=\frac{{\rm var}(\hat \theta_1)}{n} \end{aligned} var(θ^)​=n21​i=1∑n​var(θ^i​)=nvar(θ^1​)​​因此求平均的统计量个数越多，则方差越小。最终，如果n→∞n\to \inftyn→∞，则θ^→θ\hat \theta\to \thetaθ^→θ。 然而，如果估计器是有偏的，即E(θ^)=θ+b(θ){\rm E}(\hat \theta)=\theta+b(\theta)E(θ^)=θ+b(θ)，则

E(θ^)=1n∑i=1nE(θ^i)=θ+b(θ).\begin{aligned} {\rm E}(\hat \theta)&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{\rm E}(\hat \theta_i)\\ &=\theta+b(\theta). \end{aligned} E(θ^)​=n1​i=1∑n​E(θ^i​)=θ+b(θ).​因此，不论对多少个估计器进行平均，θ^\hat \thetaθ^都不会收敛到真实值，如Figure 2.2所示。这里，通常将

b(θ)=E(θ^)−θb(\theta)={\rm E}(\hat \theta)-\theta b(θ)=E(θ^)−θ定义为估计器的偏差（bias）。

2、最小方差准则

    在寻找最优估计时，我们需要采取一些最优化原则。很自然的，我们可以采用均方误差（mean square error，MSE)，即

mse(θ^)=E[(θ^−θ)2].(2.5)\tag{2.5} {\rm mse}(\hat \theta)={\rm E}\left[(\hat \theta-\theta)^2\right]. mse(θ^)=E[(θ^−θ)2].(2.5)这个参数表述了估计量与真实值之间平方偏差的统计均值的大小。遗憾的是，采用这种自然准则的估计器是无法实现的，因为这个估计不能写成数据的函数。下面我们来看如何理解这个问题，我们将mse重写为

mse(θ^)=E{[(θ^−E(θ^)+(E(θ^)−θ)]2}=var(θ^)+b2(θ)(2.6)\tag{2.6} \begin{aligned} {\rm mse}(\hat \theta)&={\rm E}\left\{\left[\left(\hat \theta-{\rm E}(\hat \theta \right)+\left({\rm E}(\hat \theta) -\theta\right) \right]^2\right\}\\ &={\rm var}(\hat \theta)+b^2(\theta) \end{aligned} mse(θ^)​=E{[(θ^−E(θ^)+(E(θ^)−θ)]2}=var(θ^)+b2(θ)​(2.6)这意味着，MES的误差时由于估计量的方差，以及偏差所引起的。例如，对于Example 2.1，考虑修正的估计

Aˇ=a1N∑n=0N−1x[n]\check A=a\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x[n] Aˇ=aN1​n=0∑N−1​x[n]这里的aaa为某常数。下面我们来确定使得MSE最小的aaa值。由于E(Aˇ)=aA{\rm E}(\check A)=aAE(Aˇ)=aA，且var(Aˇ)=a2σ2/N{\rm var}(\check A)=a^2\sigma^2/Nvar(Aˇ)=a2σ2/N，我们从(2.6)可以得到

mse(Aˇ)=a2σ2N+(a−1)2A2{\rm mse}(\check A)=\frac{a^2\sigma^2}{N}+(a-1)^2A^2 mse(Aˇ)=Na2σ2​+(a−1)2A2对aaa求微分，又

dmse(Aˇ)da=2aσ2N+2(a−1)A2\frac{d{\rm mse}(\check A)}{da}=\frac{2a\sigma^2}{N}+2(a-1)A^2 dadmse(Aˇ)​=N2aσ2​+2(a−1)A2令其等于零，可以得到aaa的最优值为

aopt=A2A2+σ2/Na_{\rm opt}=\frac{A^2}{A^2+\sigma^2/N} aopt​=A2+σ2/NA2​遗憾的是，从上面式子中可以看出，aaa的最优值取决于未知参数AAA，因此估计器是不可实现的。回想一下，之所以估计值与AAA有关，是因为(2.6)中，偏差项与真实值有关。因此看起来，只要是与偏差有关的准则，都会导致估计器不可实现。尽管通常来说确实如此，偶尔也能找到可实现的最小MSE估计器[Bibby and Touterburg 1977, Rao 1973, Stoica and Moses 1990]。

从实际角度看，需要放弃最小MSE。另外一种方法是将偏差设为零，并找到最小化方差的估计，这种估计称为最小方差无偏估计(minimum variance unbiased, MUV)。从(2.6)可以看出，无偏差估计的MSE就是方差。

最小化无偏估计的方差，也能够使得估计误差θ^−θ\hat \theta-\thetaθ^−θ的PDF更加集中在零点（问题2.7），因而出现大的估计误差的概率将变小。

3、最小方差无偏估计的存在性

下面我们要讨论的问题是，MUV是否存在，或者说对于所有θ\thetaθ取值来说，是否都存在具有最小方差的无偏估计。图2.3中给出了两种可能情况。如果有三个无偏估计，其方差如图2.3a所示，显然θ^3\hat \theta_3θ^3​为MVU估计。然而，对于2.3b中情况，没有MUV估计。这是由于若θ≤θ0\theta \le \theta_0θ≤θ0​，则θ^2\hat \theta_2θ^2​较好，而如果$θ>θ0\theta > \theta_0θ>θ0​，则θ^3\hat \theta_3θ^3​更好。在第一种情况中，为了强调对于所有θ\thetaθ的取值而言，方差都是最小的，有时将θ^3\hat \theta_3θ^3​称为一致最小方差无偏估计。下面的例子将说明，通常来说，并非总存在MUV。

Example 2.3 不存在MUV估计的例子

如果PDF的形式随着θ\thetaθ而改变，那么可以预计最佳估计也随之改变。假定我们有两个独立的观测x[0]x[0]x[0]和x[1]x[1]x[1]，其PDF为

x[0]∼N(θ,1)x[1]∼{N(θ,1)ifθ≥0N(θ,2)ifθ<0\begin{aligned} x[0]&\sim{\mathcal N}(\theta,1)\\ x[1]&\sim\left\{ \begin{aligned} {\mathcal N}(\theta,1)\ {\rm if}\ \theta\ge 0\\ {\mathcal N}(\theta,2)\ {\rm if}\ \theta< 0\\ \end{aligned}\right. \end{aligned}x[0]x[1]​∼N(θ,1)∼{N(θ,1)ifθ≥0N(θ,2)ifθ<0​​ 显然

θ^1=12(x[0]+x[1])θ^1=23x[0]+13x[1])\hat \theta_1=\frac{1}{2}(x[0]+x[1])\\ \hat \theta_1=\frac{2}{3}x[0]+\frac{1}{3}x[1]) θ^1​=21​(x[0]+x[1])θ^1​=32​x[0]+31​x[1])为无偏估计。为了计算方差，我们可以得到

var(θ^1)=14{var(x[0])+var(x[1])}var(θ^2)=49var(x[0])+19var(x[1])\begin{aligned} {\rm var}(\hat \theta_1)=\frac{1}{4}\left\{{\rm var}(x[0])+{\rm var}(x[1])\right\}\\ {\rm var}(\hat \theta_2)=\frac{4}{9}{\rm var}(x[0])+\frac{1}{9}{\rm var}(x[1]) \end{aligned}var(θ^1​)=41​{var(x[0])+var(x[1])}var(θ^2​)=94​var(x[0])+91​var(x[1])​因此有

var(θ^1)={1836ifθ≥02736ifθ<0{\rm var}(\hat \theta_1)=\left\{ \begin{aligned} \frac{18}{36}\quad {\rm if}\ \theta\ge 0\\ \frac{27}{36}\quad {\rm if}\ \theta< 0\\ \end{aligned}\right. var(θ^1​)=⎩⎪⎨⎪⎧​3618​ifθ≥03627​ifθ<0​以及

var(θ^2)={2036ifθ≥02436ifθ<0{\rm var}(\hat \theta_2)=\left\{ \begin{aligned} \frac{20}{36}\quad {\rm if }\ \theta\ge 0\\ \frac{24}{36}\quad {\rm if}\ \theta< 0\\ \end{aligned}\right. var(θ^2​)=⎩⎪⎨⎪⎧​3620​ifθ≥03624​ifθ<0​方差如图2.4所示。显然，在这两种估计中，不存在MVU估计。

4、寻找最小方差无偏估计

即使存在MVU估计，我们也可能求不出来。没有一种“摇动曲柄”，总能求解出估计量的方法。在后面几章中，我们讨论几种可能的方法，包括：

确定Cramer-Rao下界（CRLB），并检视是否有某些估计能够满足（第3、4章）。应用Rao-Blackwell-Lehmann-Scheffe(RBLS)定理（第5章）。进一步将估计器的类型限定为不仅是无偏的，而且是线性的。随后对于所限定的类型，找到最小方差估计（第6章）。

方法1和2可能会得到MVU估计，而方法3只有估计量在数据中是线性时，才会得到MVU估计。

根据CRLB，我们知道对于任何无偏估计，方差一定大于或等于某个给定的值，如Figure 2.5所示。如果对于所有的θ\thetaθ值，存在方差等于CRLB的估计，则这个估计一定时MVU估计。这种情况下，根据CRLB理论可以立即得到估计。有可能不存在方差等于下界的估计，然而此时有可能仍然存在MVU估计，如Figure2.5中的θ^1\hat \theta_1θ^1​所示。因此，我们必须使用Rao-Blackwell-Lehmann-Scheffe定理。这种方法首先找到一个有效使用所有数据的充分统计量，再找到作为θ\thetaθ无偏估计的这个充分量的一个函数。稍微对数据的PDF做些限定，这个方法可以保证得到无偏估计。第三种方法要求估计是线性的，这个限定有的时候是个严格的约束，并且选择最好的线性估计。当然，只有对于特殊的数据集，这个方法能够得到MVU估计。

5、扩展到矢量参数

如果θ=[θ1θ2…θp]T{\bm \theta}=[\theta_1\ \theta_2\ \ldots\ \theta_p]^{\rm T}θ=[θ1​θ2​…θp​]T为未知参数向量，如果对于i=1,2,…,pi=1,2,\ldots,pi=1,2,…,p，有

E(θ^i)=θi,ai<θi<bi(2.7)\tag{2.7} {\rm E}(\hat \theta_i)=\theta_i, \quad a_i<\theta_i<b_i E(θ^i​)=θi​,ai​<θi​<bi​(2.7)我们称估计θ^=[θ^1θ^2…θ^p]T{\hat \bm \theta}=[\hat\theta_1\ \hat\theta_2\ \ldots\ \hat\theta_p]^{\rm T}θ^=[θ^1​θ^2​…θ^p​]T为无偏的。通过定义

E(θ^)=[E(θ^1)E(θ^2)⋮E(θ^p)]{\rm E}({\hat \bm \theta})=\left[\begin{aligned} {\rm E}&(\hat \theta_1)\\ {\rm E}&(\hat \theta_2)\\ &\vdots\\ {\rm E}&(\hat \theta_p) \end{aligned}\right] E(θ^)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡​EEE​(θ^1​)(θ^2​)⋮(θ^p​)​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤​我们可以等效地定义具有如下性质的无偏估计

E(θ^)=θ{\rm E}(\hat \bm \theta)=\bm \theta E(θ^)=θMVU估计具有附加性质，即var(θ^i){\rm var}(\hat \theta_i)var(θ^i​)在所有无偏估计中是最小的，这里i=1,2,…,pi=1,2,\ldots,pi=1,2,…,p。

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