首先介绍scipy中的几类函数：

概率密度函数(PDF: Probability Density Function)：连续随机变量的概率分布特性用概率密度函数(PDF: Probability Density Function)来刻画。累积分布函数(CDF: Cumulative Distribution Function)：百分点函数(PPF: Percent Point Function)：百分点函数PPF是CDF的反函数。为了得到一定的累积分布概率，CDF相应的输入值是什么。生存函数(Survial Function)：定义式为 𝑆(𝑥)=𝑃𝑟[𝑋>𝑥]=1−𝐹(𝑥)。风险函数：风险函数为概率密度函数与生存函数之比𝐻(𝑥)=𝑓(𝑥)/𝑆(𝑥)=𝑓(𝑥)/(1−𝐹(𝑥))

1 绘制t分布曲线

1.1 理论

t分布形状类似于标准正态分布；t分布是对称分布，较正态分布离散度强，密度曲线较标准正态分布密度曲线更扁平；对于大型样本，t-值与z-值之间的差别很小。

作用：t分布纠正了未知的真实标准差的不确定性；t分布明确解释了估计总体方差时样本容量的影响，是适合任何样本容量都可以使用的合适分布

应用：根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值；对于任何一种样本容量，真正的平均值抽样分布是t分布，因此，当存在疑问时，应使用t分布。

样本容量对分布的影响：当样本容量在 30-35之间时，t分布与标准正态分布难以区分；当样本容量达到120时，t分布与标准正态分布实际上完全相同了

自由度df对分布的影响：样本方差使用一个估计的参数（平均值），所以计算置信区间时使用的t分布的自由度为 n - 1；由于引入额外的参数(自由度df)，t分布比标准正态分布的方差更大（置信区间更宽）；与标准正态分布曲线相比，自由度df越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度df愈大，t分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度df= ∞ 时，t分布曲线为标准正态分布曲线。

这里推荐一个讲解t分布比较好的B站视频：

/video/BV1Qv411W7GQ

1.2 代码及效果

# 不同自由度的学生t分布与标准正态分布import numpy as npfrom scipy.stats import normfrom scipy.stats import timport matplotlib.pyplot as pltprint('比较t-分布与标准正态分布')x = np.linspace( -3, 3, 100)plt.plot(x, t.pdf(x,1), label='df=1')plt.plot(x, t.pdf(x,2), label='df=20')plt.plot(x, t.pdf(x,100), label = 'df=100')plt.plot( x[::5], norm.pdf(x[::5]),'kx', label='normal')plt.legend()plt.show()

1.3 根据正态分布函数表达式绘制正太分布曲线

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport mathmu = 0sigma = math.sqrt(0.2)x = np.linspace(mu-50*sigma,mu+50*sigma,1000)y = np.exp(-(x-mu)**2 / (2*sigma**2)/math.sqrt(2*math.pi)*sigma)plt.plot(x,y,'b-',linewidth=1)plt.show()

绘图效果：

1.4 计算t分布的临界值

由于t分布是对称性分布，所以计算t分布的临界值 (critical value）时，需要区分单尾还是双尾。

也就是说，假设我们令 alpha=0.05，对应的单尾分布参数为0.95，而双尾则应是0.975.

x = np.linspace( -3, 3, 100)print(f'alpha=0.05的单尾检验对应的临界值为{t.ppf(0.95,2)}')print(f'alpha=0.05的双尾检验对应的临界值为{t.ppf(0.975,2)}')

alpha=0.05的单尾检验对应的t值为2.919985580355516

alpha=0.05的双尾检验对应的t值为4.302652729911275

对应查表结果：

1.5 计算t分布的p值

在scipy中，p值的计算与生存函数挂钩；需要指定的参数为 t值 和 自由度

这里我们选择t=6.965自由度为2来演示p值的计算过程：

print(f't=6.965且自由度为2的单尾检验对应的p值为{t.sf(6.965,2)}')print(f't=6.965且自由度为2的双尾检验对应的p值为{2*t.sf(6.965,2)}')

计算得到的p值为：

t=6.965且自由度为2的单尾检验对应的p值为0.009998765127525556

t=6.965且自由度为2的双尾检验对应的p值为0.01999753025505111

2 绘制F分布曲线

2.1 理论

F分布是1924年英国统计学家R.A.Fisher提出，并以其姓氏的第一个字母命名的。它是一种非对称分布，有两个自由度，且位置不可互换。

设X服从自由度为n1的卡方分布, Y服从自由度为n2的卡方分布，且X，Y独立，则称随机变量F=(X⁄n1 )/(Y⁄n2 )服从自由度为(n1，n2)的F分布，记为F~F(n1，n2)。其中n1称为第一自由度，n2称为第二自由度。

F分布及其应用_LittleDorcas的博客-CSDN博客_f分布

2.2 代码及效果

import numpy as npfrom scipy.stats import fimport matplotlib.pyplot as pltx = np.linspace(0,4.5, 10000)plt.plot(x, f.pdf(x,10,10), 'g--',label='y=f(x,10,10)')plt.plot(x, f.pdf(x,80,50), 'k-',label='y=f(x,80,50)')plt.legend()plt.show()

2.3 计算临界值和p值

print(f'alpha=0.1的单尾检验对应的临界值为{f.ppf(0.9,5,5)}')print(f'alpha=0.05的双尾检验对应的临界值为{f.ppf(0.95,5,5)}')print(f't=5.05且自由度为(5,5)的单尾检验对应的p值为{f.sf(5.05,5,5)}')print(f't=5.05且自由度为(5,5)的双尾检验对应的p值为{2*f.sf(5.05,5,5)}')

计算结果为：

alpha=0.1的单尾检验对应的临界值为3.4529822480379053

alpha=0.05的双尾检验对应的临界值为5.050329057632646

t=5.05且自由度为(5,5)的单尾检验对应的p值为0.05000625652489983

t=5.05且自由度为(5,5)的双尾检验对应的p值为0.10001251304979966

3 卡方分布

3.1 理论

若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，...,ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）

3.2 代码及效果

import numpy as npfrom scipy.stats import chi2import matplotlib.pyplot as pltx = np.linspace(0,50, 100)plt.plot(x, chi2.pdf(x,df=1), 'g--',label='df=1')plt.plot(x, chi2.pdf(x,df=2), 'k-',label='df=2')plt.plot(x, chi2.pdf(x,df=4), 'b-',label='df=4')plt.plot(x, chi2.pdf(x,df=8), 'r-',label='df=8')plt.plot(x, chi2.pdf(x,df=16), 'y-',label='df=16')plt.legend()plt.show()

3.3 计算临界值和p值

print(f'alpha=0.1的单尾检验对应的临界值为{chi2.ppf(0.9,4)}')print(f'alpha=0.05的双尾检验对应的临界值为{chi2.ppf(0.95,4)}')print(f't=9.4877且自由度为 4 的单尾检验对应的p值为{chi2.sf(9.4877,4)}')print(f't=7.7794且自由度为 4 的双尾检验对应的p值为{chi2.sf(7.7794,4)}')

计算结果：

alpha=0.1的单尾检验对应的临界值为7.779440339734858

alpha=0.05的双尾检验对应的临界值为9.487729036781154

t=9.4877且自由度为 4 的单尾检验对应的p值为0.050000599541234675

t=7.7794且自由度为 4 的双尾检验对应的p值为0.10000160450343255

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