均方误差准则(MSE)和LMS算法
5.5.2均方误差准则(MSE)和LMS算法
引言：均方误差准则同时考虑ISI及噪声的影响，使其最小化。
本节讨论问题：
均方误差准则；
无限长LMS均衡器(C(z)，Jmin)；
有限长LMS均衡器(Copt，Jmin)；
LMS算法；
均衡器的操作；
递推LMS算法收敛特性的分析。
一. 均方误差准则
信息符号的估计值： (无限长均衡器情况)
其中，接收数据样本为：，为白噪声。
估计误差：
定义：估计值为均衡器的性能指数。
均方误差准则：使均方误差性能指数最小()，此准则同时考虑使ISI及噪声影响最小。
获得的途径：调整，当时，(最佳抽头系数)
寻找的方法：1)根据正交性原理(线性均方估计)：。(注：与ZF准则不同的是，这里的输入是经过两个输入滤波器的数据样本，这就包含了噪声)。即。
2)求函数极值方法：令
5月3日星期五上午讲于此处，已经是第十次矣。
这两种方法是等价的，证明如下。
证明：求导置零方法与正交性原理等价。
假如均衡器为有限长，则
其中
，以及
。
故
另一种方法：
可见，是的平方函数(二次型)。求导置零可得：
即，
，
结论：求导方法与正交性原理是等价的，满足正交条件，就可以获得最小MSE。
二、无限长LMS均衡器(性能)
1. 求：从正交原理出发，
(10-2-27)
即
即
(*) 正交条件
注: 是收数据样本，其中的噪声已经白化。
在(*)式左边可以得到：
式中利用了。
注：都是Kroenecker冲激或离散冲激的不同写法。
因此我们有：
(A)
注：，代表了序列的共轭颠倒序列。或者说代表了的MF(零时延)。
(注：令)
故
，其支撑为：
或者说，可以得到
也可以写为
(*)式右边：
式中，
由此可得
(B)
将(A)、(B)两式代入(*)式：
上式就是:
取Z变换： (10-2-31)
则MMSE均衡器 (10-2-32)
等效MMSE均衡器： (10-2-33)
求(最小均方误差)
时域
利用正交原理第二项为零，所以
(利用(B)式)
令信息符号的平均功率为1，则
(2)频域
通过z变换及令将式的
全传输系统响应： (10-2-35)
以z反变换(留数法)求：
(10-2-36)
(10-2-37)
代入 ，得
将以信道折叠谱表示。因为
的傅里叶变换为，故
又
所以
(10-2-18)
所以
(10-2-38)
所以，当ISI=0时， (10-2-39)
因，故,，利用正交原理，易证：
，即。
输出SNR: (10-2-40)
三、有限长LMS均衡器 (, )
均方误差：
求：无限长均衡器
仿上面无限长均衡器的推导：
根据正交条件：
令
则 (注: 的支撑为。)
令
得 (10-2-43)
矩阵形式： (10-2-46)
所以， (10-2-47)
说明：, 为有个元素的列向量
为(2K+1)×(2K+1)的Hermitian矩阵。
因为自相关函数且，所以中元素满足。是共轭转置阵(Hermite)阵。
2、求均衡器的性能即求最小能达到的均方差：
前已经证明
将代入式：
(10-2-48)
注：的支撑为。
工程实用方法： 采用简单的迭代过程——最速下降法。
LMS算法：
内容: a)算法： (理论算法)
b)梯度：
c) 工程实用算法：
d) 均衡器结构：图11-1-2
算法：LMS算法是一种最陡下降法，其实质是一个迭代过程，而迭代过程是通过递推运算来进行的。
设有(2K+1)个抽头
递推运算：
每次迭代变化量：
令
则
或矩阵形式： ，
式中为调节阶距(步长)注：可以看到，
即强制要求抽头系数向着误差下降的方向变化。
则
或矩阵形式： ，
式中为调节阶距(步长step)，其中
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