概率论与数理统计——卡方分布的期望与方差

若X为随机变量，且X满足X∼χ2(n)X\sim \chi ^2(n)X∼χ2(n)，则期望E(X)=n，方差D(X)=2n。

E(X)=n

证明如下：E(X)=E(∑i=1nXi2)=∑i=1nE(Xi2)=∑i=1n(D(Xi)+E2(Xi))E(X)=E(\sum_{i=1}^nX_i^2)=\sum_{i=1}^nE(X_i^2)=\sum_{i=1}^n(D(X_i)+E^2(X_i))E(X)=E(i=1∑n​Xi2​)=i=1∑n​E(Xi2​)=i=1∑n​(D(Xi​)+E2(Xi​))由D(Xi)=1D(X_i)=1D(Xi​)=1，E(Xi)=0E(X_i)=0E(Xi​)=0，得E(X)=nE(X)=nE(X)=n证明完毕。

D(X)=2n

证明如下：D(X)=D(∑i=1nXi2)=∑i=1nD(Xi2)=∑i=1n(E(Xi4)−E2(Xi2))D(X)=D(\sum_{i=1}^nX_i^2)=\sum_{i=1}^nD(X_i^2)=\sum_{i=1}^n(E(X_i^4)-E^2(X_i^2))D(X)=D(i=1∑n​Xi2​)=i=1∑n​D(Xi2​)=i=1∑n​(E(Xi4​)−E2(Xi2​))由上面的结论，知E(Xi2)=1E(X_i^2)=1E(Xi2​)=1。

接下来计算E(Xi4)E(X_i^4)E(Xi4​) E(Xi4)=∫−∞∞x4f(x)dx=∫−∞∞x3∗xf(x)dx=−f(x)x3∣−∞∞−∫−∞∞3x2f(x)dx=0−(−f(x)3x∣−∞∞−3∫−∞∞xf(x)dx)=3∫−∞∞xf(x)dx=3E(X_i^4)=\int_{-\infty}^\infty x^4f(x)dx=\int_{-\infty}^\infty x^3*xf(x)dx=-f(x)x^3|_{-\infty}^\infty-\int_{-\infty}^\infty 3x^2f(x)dx=0-(-f(x)3x|_{-\infty}^\infty-3\int_{-\infty}^\infty xf(x)dx)=3\int_{-\infty}^\infty xf(x)dx=3E(Xi4​)=∫−∞∞​x4f(x)dx=∫−∞∞​x3∗xf(x)dx=−f(x)x3∣−∞∞​−∫−∞∞​3x2f(x)dx=0−(−f(x)3x∣−∞∞​−3∫−∞∞​xf(x)dx)=3∫−∞∞​xf(x)dx=3由此，得D(Xi2)=3−1=2D(X_i^2)=3-1=2D(Xi2​)=3−1=2所以D(X)=2nD(X)=2nD(X)=2n证明完毕。

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